Curiosando nella Teoria dei Giochi, ho trovato un esempio che mi sembra carino, non troppo complicato da seguire e che può chiarire la sorgente delle diverse probabilità degli eventi tra la descrizione classica e quella quantistica.
Prima, provo a dare un paio di definizioni per chiarire il simbolismo che adotterò. Probabilmente, alcune cose saranno ovvie per chi, come gli informatici, ha un buon livello di dimestichezza con la matematica. Comunque, le dò lo stesso cercando di produrre un post leggibile anche dalla maggior parte degli altri.
Con il simbolo |a> indicherò sempre un vettore. In questo contesto in cui ci limitiamo ad uno spazio bidimensionale un vettore non è altro che un oggetto che è definito dal valore assunto dalle sue due componenti. In altre parole, il simbolo |a> deve essere inteso come
che vuol dire semplicemente che il vettore |a> ha componenti a[sub]1[/sub] lungo l'asse x e a[sub]2[/sub] lungo l'asse y.
Con il simbolo
indico invece un operatore che può essere applicato ad un vettore per trasformarlo in una maniera arbitraria. Matematicamente, l'oggetto al secondo membro si chiama matrice e, nel nostro caso, ha 4 componenti.
Una volta definiti il vettore e l'operatore, la regola da applicare per ottenere il vettore trasformato, |b>, è data dalla seguente espressione:
che definisce immediatamente come devono essere calcolate le due componenti del vettore trasformato.
Qui finiscono le definizioni matematiche indispensabili e possiamo iniziare con il giochino!
Regole del gioco: caso classico.Ci sono due giocatori che, in omaggio alla consuetudine, chiamiamo Alice e Bob.
Il gioco consiste in ciò:
1) Alice mette una moneta in una scatola. La mette a faccia in su e Bob lo sa.
Commento: poichè la moneta può stare solo in due stati, testa o croce, possiamo indicare i possibili stati della moneta tramite due vettori. Le due componenti dei vettori si riferiranno alle due configurazioni "testa" o "croce" e quindi potranno assumere solo due valori, 0 o 1 (che significano falso o vero). In sintesi, adottando la definizione di vettore che vi ho dato, i due stati "testa" e "croce", saranno rappresentati dai due vettori:
Da quanto ho detto, nelle condizioni iniziali, si trova nello stato |t>.
2) Bob, senza guardare, può decidere di lasciare la moneta così com'è oppure può decidere di capovolgerla.
Commento: siccome dobbiamo esprimere simbolicamente la scelta di Bob, diciamo che "lasciare la moneta così com'è" significa applicare a |t> un operatore che chiamiamo identità (I), mentre capovolgere la moneta significa applicare un operatore che chiamiamo Flip (F). I due operatori sono così definiti:
Come si applica l'operatore ai vettori |t> e |c> ora lo sapete. Se volete potete provare voi stessi a vedere che il primo operatore lascia il vettore immutato mentre il secondo lo commuta (si trata solo di fare un paio di moltiplicazioni e di somme).3) Alice ora può a sua volta decidere se lasciare la moneta nella configurazione scelta da Bob oppure di capovolgerla. Il simbolismo da utilizzare è, ovviamente, lo stesso che abbiamo adottato per le scelte di BOB.
4) Bob ha un'ulteriore opportunità per girare la moneta o lasciarla come l'ha lasciata Alice.
5) Ora, entrambi guardano la moneta. Alice vince se esce "croce". In caso contrario, vince Bob.
Ora, non vi angoscio proponendovi le tabelle delle varie possibilità di risultato del gioco. Il gioco è talmente semplice che potete valutare le probabilità di vincita di Alice da soli. In ogni caso, il risultato è ovvio. Ci sarà necessariamente un vincitore e le probabilità di vittoria per Alice o per Bob sono identiche. Ognuno di loro potrà vincere con probabilità pari ad 1/2. Il gioco è totalmente simmetrico. Tanto simmetrico che vi sarà sufficiente calcolare la tabella dei risultati per uno dei due giocatori per ottenere immediatamente la tabella relativa all'altro. Un gioco con questa simmetria viene definito come un gioco a somma nulla.
Tutto ciò può apparire estremamente banale, in effetti lo è, e chiude il discorso relativamente al caso classico.
Regole del gioco: caso quantisticoLe regole sono le stesse del caso classico e le condizioni iniziali sono le stesse, cioè Alice al momento iniziale lascia la moneta nello stato |t>.
Le differenze stanno nella natura dei due giocatori.
Alice continua ad essere un giocatore classico. Cioè, al suo turno, può applicare o l'operatore Identità o l'operatore Flip.
Bob è invece un giocatore quantistico. Bob può applicare uno dei due operatori consentiti ad Alice. Ma può fare anche un'altra cosa: può mettere la moneta in uno stato "entangled". In altre parole, Bob può decidere di fare una terza mossa, applicando l'operatore
Se applicate questo operatore sia a |t> che a |c>, vedrete che in ogni caso verrà prodotto lo stesso stato entangled |e>
Commento: il fattore moltiplicativo 1/2[sup]1/2[/sup] non è importantissimo. Comunque, si tratta solo di un fattore di normalizzazione. I quadrati delle ampiezze dei vettori sono le probabilità. Con questo fattore moltiplicativo la somma delle probabilità continua ad essere 1.Quello che conta è che se Alice si trova con una moneta nello stato entangled ed applica uno qualsiasi dei due operatori a lei consentiti. Il risultato della sua operazione sarà comunque quello di lasciare la moneta in uno stato entangled indistinguibile dal precedente (potete fare voi la prova, è semplice).
Ed ecco che Bob scopre di avere una strategia. Bob alla sua prima mossa deve applicare l'operatore
H. Quando Alice farà la sua ultima mossa, lascerà invariabilmente la moneta nello stato |e>. L'untima mossa è di Bob che applicherà ancora una volta
H. Ma
H|e> darà sempre il risultato |t> (al solito, provate voi per vedere).
Nel caso quantistico, il gioco non è più a somma nulla e Bob è in grado di vincere comunque...alla faccia delle pari opportunità!
Il caso quantistico ha rimosso la simmetria originale tra i due giocatori. Il cambiamento è conseguenza della diversa distribuzione delle probabilità per il caso classico e quello quantistico.
Ciò è, in definitiva, quello che viene descritto nel post di avvio di questo topic. In quel topic uno dei due giocatori è classico (l'osservatore) mentre l'altro è un giocatore quantistico (i due elettroni entangled). Il risultato è quello che già avete visto.
Spero che, con un po' di buona volontà da parte vostra, ciò vi possa aiutare a capire come le probabilità di un risultato cambino non appena divengono rilevanti gli aspetti quantistici. Ho dovuto per forza introdurre un minimo di simbolismo. Spero di essere riuscito a renderlo abbastanza intellegibile.
