Ipotesi di Riemann
Inviato: 28/11/2015, 8:50
Testo tratto da : https://seipernove42.wordpress.com/problemi-di-hilbert/lipotesi-di-riemann/
L’Ipotesi di Riemann
Di tutti i problemi proposti da Hilbert, l’Ipotesi di Riemann é forse la più conosciuta e, insieme, la più affascinante. Prima di tutto, ancora nessuno é riuscito a dimostrarla, nonostante a questo obiettivo si siano rivolte alcune delle menti matematiche più geniali degli ultimi due secoli. Inoltre, é un’ipotesi strettamente connessa ai numeri primi, ed essendo i numeri primi i “mattoncini” essenziali dell’intera aritmetica (qualunque numero puo’ essere espresso come prodotto di primi), l’ipotesi é in realtà centrale alla matematica nel suo complesso. Non solo: recentemente, si é capita una sua correlazione con problemi fisici (in particolare, con i livelli energetici di alcuni sistemi quantistici). E se tutto questo non bastasse, il Clay Institute ha offerto un premio di un milione di dollari per chiunque riesca a dimostrarla! Non male, vero? Forse vale davvero la pena di capire di cosa si tratti.
L’ipotesi di Riemann
L’ipotesi di Riemann riguarda la funzione zeta dello stesso Riemann, la quale a sua volta estende la funzione zeta dell’ancor più celebre Eulero, e quindi é da qui che conviene incominciare. La funzione zeta di Eulero é definita, per qualunque numero maggiore di 1, in questa maniera:
Per valori di x maggiori di 1, si ottiene sempre una serie convergente, ed Eulero stesso trovo’ numerosi risultati numerici. Ad esempio, . Inoltre, Eulero trovo’ un’altra forma per la sua funzione, nella quale erano direttamente coinvolti i numeri primi (ricordo che il pigreco maiuscolo indica una produttoria, cosi’ come il sigma maiuscolo indica una sommatoria):
Nella produttoria, p assume il valore di tutti i numeri primi: ecco il primo nesso fra la funzione zeta ed i numeri primi.
Riemann estese questa funzione in modo che potesse prendere come argomento qualunque numero complesso, e non più solo numeri interi (per di più positivi). Prima di tutto, la defini’ per numeri complessi con parte reale maggiore di 1 sfruttando la produttoria trovata da Eulero:
L’unica differenza rispetto a prima é che ora s é un numero complesso, e non più un numero intero. In seguito, Riemann la estese all’intero piano complesso, sfruttando le proprietà dell’analisi complessa (il procedimento coinvolge equazioni abbastanza complicate che tralascero’, in quanto non apportano quasi niente alla discussione).
A questo punto, Riemann si mise a studiare gli zeri della funzione appena ottenuta, ovvero i punti per i quali la funzione si annulla: . Trovo’ quasi subito che esistevano un’infinità di zeri corrispondenti a tutti i numeri pari negativi: -2, -4, -6… Chiamo’ questi zeri banali, e se ne disinteresso’ quasi subito. Scopri’ poi l’esistenza di un’altra infinità di zeri, tutti con parte reale compresa fra 0 ed 1, ovvero che si concentravano in una regione del piano complesso che venne poi definita regione critica.
Riemann congetturo’ che tutti questi zeri (che chiamo’ non banali) si trovassero esattamente a metà della regione critica, ovvero avessero tutti parte reale pari ad 1/2: questa é la congettura di Riemann
L’Ipotesi di Riemann
Di tutti i problemi proposti da Hilbert, l’Ipotesi di Riemann é forse la più conosciuta e, insieme, la più affascinante. Prima di tutto, ancora nessuno é riuscito a dimostrarla, nonostante a questo obiettivo si siano rivolte alcune delle menti matematiche più geniali degli ultimi due secoli. Inoltre, é un’ipotesi strettamente connessa ai numeri primi, ed essendo i numeri primi i “mattoncini” essenziali dell’intera aritmetica (qualunque numero puo’ essere espresso come prodotto di primi), l’ipotesi é in realtà centrale alla matematica nel suo complesso. Non solo: recentemente, si é capita una sua correlazione con problemi fisici (in particolare, con i livelli energetici di alcuni sistemi quantistici). E se tutto questo non bastasse, il Clay Institute ha offerto un premio di un milione di dollari per chiunque riesca a dimostrarla! Non male, vero? Forse vale davvero la pena di capire di cosa si tratti.
L’ipotesi di Riemann
L’ipotesi di Riemann riguarda la funzione zeta dello stesso Riemann, la quale a sua volta estende la funzione zeta dell’ancor più celebre Eulero, e quindi é da qui che conviene incominciare. La funzione zeta di Eulero é definita, per qualunque numero maggiore di 1, in questa maniera:
Per valori di x maggiori di 1, si ottiene sempre una serie convergente, ed Eulero stesso trovo’ numerosi risultati numerici. Ad esempio, . Inoltre, Eulero trovo’ un’altra forma per la sua funzione, nella quale erano direttamente coinvolti i numeri primi (ricordo che il pigreco maiuscolo indica una produttoria, cosi’ come il sigma maiuscolo indica una sommatoria):
Nella produttoria, p assume il valore di tutti i numeri primi: ecco il primo nesso fra la funzione zeta ed i numeri primi.
Riemann estese questa funzione in modo che potesse prendere come argomento qualunque numero complesso, e non più solo numeri interi (per di più positivi). Prima di tutto, la defini’ per numeri complessi con parte reale maggiore di 1 sfruttando la produttoria trovata da Eulero:
L’unica differenza rispetto a prima é che ora s é un numero complesso, e non più un numero intero. In seguito, Riemann la estese all’intero piano complesso, sfruttando le proprietà dell’analisi complessa (il procedimento coinvolge equazioni abbastanza complicate che tralascero’, in quanto non apportano quasi niente alla discussione).
A questo punto, Riemann si mise a studiare gli zeri della funzione appena ottenuta, ovvero i punti per i quali la funzione si annulla: . Trovo’ quasi subito che esistevano un’infinità di zeri corrispondenti a tutti i numeri pari negativi: -2, -4, -6… Chiamo’ questi zeri banali, e se ne disinteresso’ quasi subito. Scopri’ poi l’esistenza di un’altra infinità di zeri, tutti con parte reale compresa fra 0 ed 1, ovvero che si concentravano in una regione del piano complesso che venne poi definita regione critica.
Riemann congetturo’ che tutti questi zeri (che chiamo’ non banali) si trovassero esattamente a metà della regione critica, ovvero avessero tutti parte reale pari ad 1/2: questa é la congettura di Riemann