Geometria degli iper-solidi
Inviato: 27/08/2015, 22:23
Noi umani apparteniamo ad una particolare specie di scimmia con un cervello molto evoluto, in natura per sopravvivere abbiamo dovuto imparare a fare molte cose banali in apparenza.
Prendiamo come esempio un tavolo e una mela: chiunque è in grado di prendere la mela dal pavimento ed appoggiarla sul tavolo.
Una gallina non riesce a mettere la mela sul tavolo, non ha il cervello adatto, non riuscirebbe neppure se al posto della mela mettessimo una ciliegia e al posto del tavolo uno sgabellino proporzionato.
È forse la gallina troppo stupida? Sì, e non riuscirebbe nemmeno se avesse le mani.
Un elefante che dovrebbe appoggiare una anguria in cima ad un armadio si ritroverebbe nello stesso problema.
L'elefante non riuscirebbe a spostare l'anguria nemmeno se avesse le mani, ma non avrebbe problemi ad usare la proboscide.
La domanda che dovremmo chiederci è: "riusciremmo a mettere la mela sul tavolo usando il naso?" Ovviamente No.
Riusciremmo a mettere una mela sul tavolo usando una proboscide artificiale da indossare sulla faccia?
Non al primo colpo, però con Moooolta pratica inizieremmo a riuscirci tranquillamente; e non solo, useremmo questa proboscide anche per mangiare, bere acqua, raccogliere oggetti, girare il volante dell'auto ecc...
Tutto questo perché abbiamo elasticità mentale, come i cani addestrati quando camminano su due zampe.
Ci sono cose che invece sappiamo fare per istinto, un po' come il nostro elefantino menzionato precedentemente è abile nell'uso della proboscide.
Noi a differenza degli elefanti sappiamo camminare sugli arti posteriori, è automatico dopo i primi mesi di vita; sappiamo sorridere, e questo oltre che automatico è anche difficile da evitare (chi di noi non ha vissuto quella situazione dove stava per scoppiare a ridere in un momento poco opportuno rischiando una figuraccia) e altre cose molto più complicate di quello che sembrano.
Una di queste cose è la percezione dello spazio.
Di fatto, ricostruiamo nella nostra testa gli spazi tridimensionali che ci circondano.
interpretiamo un'immagine piatta, senza volume, creata dalla luce proiettata sulle nostre retine.
Decodifichiamo la prospettiva per interpretare il mondo che ci circonda; non è una prerogativa di noi umani, tutti gli animali, chi meglio chi peggio, riescono a interpretare le immagini e capire, per esempio, quanti metri possono camminare in avanti senza sbattere la testa contro un palo della luce. Altri addirittura interpretano i suoni, come i pipistrelli o i delfini, altri esseri viventi al contrario non interpretano un bel niente perché non ne hanno bisogno. Gli alberi non hanno concezione dello spazio, i batteri nemmeno...
possiamo piantare un albero in una segheria piena di lame in movimento, l'albero crescerebbe fino alle lame facendosi amputare i rami perché non sa dove sono.
Tutti gli esseri del regno animale che si sono evoluti fino ad oggi hanno scelto fra tre strade:
1- interpretare gli spazi
2- vivere sott'acqua in zone senza ostacoli (come le meduse, gli anemoni, ecc...)
3- sono morti. (evoluzione)
Noi umani abbiamo degli occhi invidiabili, vediamo meglio dei nostri amici cani, vediamo più in lontananza rispetto ai pipistrelli, vediamo un colore in più rispetto alle mucche, possiamo invidiare solo i falchi o i gatti.
Ciò ci ha reso capaci di vedere gli spazi un po' dappertutto; basta disegnare un cubo per farci notare subito che è un cubo, basta fare un disegno utilizzando i punti di fuga per illuderci di vedere due oggetti di dimensione diversa
Quando parliamo di forme bidimensionali sappiamo perfettamente la distinzione che c'è fra una figura piatta e un solido dotato di volume.
Prendiamo in considerazione contemporaneamente un punto, una linea, una figura piatta e un solido, ci chiediamo: "cosa c'è dopo il solido?"
Il punto ha zero dimensioni, la linea una, la figura piatta ne ha 2 e il solido ne ha 3; quale oggetto ha 4 dimensioni?
Iniziamo così a parlare di figure a più dimensioni, o "iper-solidi" (ipercubo, ipersfera, ipercilindro...)
possiamo creare una linea da un insieme di punti, proprio come tante perle impilate formano una collana,
possiamo creare un piano da un insieme di linee, proprio come tanti fili intrecciati formano un lenzuolo,
possiamo creare un solido da un insieme di piani, proprio come tante sfoglie impilate l'una sopra l'altra formano una gustosa fetta di lasagne.
quale gruppo di solidi crea un iper-solido? Possiamo immaginare un ipersolido come tanti disegni: Immaginiamo di disegnare tantissime volte una scatola, la stessa scatola,
Ogni scatola ha la stessa base, la stessa altezza e la stessa profondità. Concettualmente queste scatole sono come scatole vere, possono contenere liquidi, oggetti, aria ecc...
ritagliamo le scatole disegnate da ogni foglio, e impiliamo tutti i disegni l'uno sopra l'altro e li rileghiamo. Otterremo un libro, ogni pagina di questo libro è il disegno di un cubo, mentre tutto il libro
nel suo insieme rappresenta un ipercubo. Nelle scatole possiamo disegnare un insetto che cammina, partendo dalla prima pagina del libro disegnamo questo insetto sempre un pezzetto più avanti fino ad arrivare all'ultima pagina dove l'insetto ha attraversato completamente la scatola.
Dal nostro punto di vista questa scatola non è altro che un pezzo di carta con una scatola disegnata, ma concettualmente rappresenta una scatola voluminosa.
Possiamo vedere il libro come "la storia di un insetto che cammina in una scatola", che di fatto è un prisma di carta fatto di fogli esagonali, ma concettualmente rappresenta un ipercubo.
E come fa questo libro a rappresentare un oggetto a quattro dimensioni?
Immaginiamo di tracciare le tre dimensioni della scatola sull'ultimo disegno, quello che sta sopra tutti; gli assi sarebbero lunghezza, larghezza e profondità della scatola.
Se "uscissimo" dal disegno e prendessimo in considerazione tutti i disegni, potremmo tracciare un quarto asse che parte dal primo disegno, e attraversa tutti gli altri disegni nello stesso punto in verticale.
Un po' come se infilzassimo la pila di disegni con un chiodo.
Anche quest ultimo asse come tutti gli altri assi traccerebbe una lunghezza.
Ovviamente possiamo anche rappresentare Iper-Solidi di ordine superiore, anziché avere una pila di scatole disegnate, dovremmo avere una "pila di pile di scatole disegnate" e otterremmo un n-solido di ordine superiore, possiamo anche disegnare una pila di pile di pile di scatole disegnate o una pila di pile di pile di pile di scatole disegnate e così via...
Non possiamo creare un cubo nello spazio di un foglio, possiamo disegnare due quadrati uguali e unirne assieme gli angoli corrispondenti.
Allo stesso modo possiamo disegnare due cubi e unirne assieme i vertici.
PS:
Se ci fate caso, un cubo ha 6 facce uguali di forma quadrata, mentre un ipercubo ha 8 "iper-facce" uguali di forma cubica
(ipotizzo che un ipercubo a 5 dimensioni o 5-cubo abbia 10 "iper-facce" ipercubiche)
Prendiamo come esempio un tavolo e una mela: chiunque è in grado di prendere la mela dal pavimento ed appoggiarla sul tavolo.
Una gallina non riesce a mettere la mela sul tavolo, non ha il cervello adatto, non riuscirebbe neppure se al posto della mela mettessimo una ciliegia e al posto del tavolo uno sgabellino proporzionato.
È forse la gallina troppo stupida? Sì, e non riuscirebbe nemmeno se avesse le mani.
Un elefante che dovrebbe appoggiare una anguria in cima ad un armadio si ritroverebbe nello stesso problema.
L'elefante non riuscirebbe a spostare l'anguria nemmeno se avesse le mani, ma non avrebbe problemi ad usare la proboscide.
La domanda che dovremmo chiederci è: "riusciremmo a mettere la mela sul tavolo usando il naso?" Ovviamente No.
Riusciremmo a mettere una mela sul tavolo usando una proboscide artificiale da indossare sulla faccia?
Non al primo colpo, però con Moooolta pratica inizieremmo a riuscirci tranquillamente; e non solo, useremmo questa proboscide anche per mangiare, bere acqua, raccogliere oggetti, girare il volante dell'auto ecc...
Tutto questo perché abbiamo elasticità mentale, come i cani addestrati quando camminano su due zampe.
Ci sono cose che invece sappiamo fare per istinto, un po' come il nostro elefantino menzionato precedentemente è abile nell'uso della proboscide.
Noi a differenza degli elefanti sappiamo camminare sugli arti posteriori, è automatico dopo i primi mesi di vita; sappiamo sorridere, e questo oltre che automatico è anche difficile da evitare (chi di noi non ha vissuto quella situazione dove stava per scoppiare a ridere in un momento poco opportuno rischiando una figuraccia) e altre cose molto più complicate di quello che sembrano.
Una di queste cose è la percezione dello spazio.
Di fatto, ricostruiamo nella nostra testa gli spazi tridimensionali che ci circondano.
interpretiamo un'immagine piatta, senza volume, creata dalla luce proiettata sulle nostre retine.
Decodifichiamo la prospettiva per interpretare il mondo che ci circonda; non è una prerogativa di noi umani, tutti gli animali, chi meglio chi peggio, riescono a interpretare le immagini e capire, per esempio, quanti metri possono camminare in avanti senza sbattere la testa contro un palo della luce. Altri addirittura interpretano i suoni, come i pipistrelli o i delfini, altri esseri viventi al contrario non interpretano un bel niente perché non ne hanno bisogno. Gli alberi non hanno concezione dello spazio, i batteri nemmeno...
possiamo piantare un albero in una segheria piena di lame in movimento, l'albero crescerebbe fino alle lame facendosi amputare i rami perché non sa dove sono.
Tutti gli esseri del regno animale che si sono evoluti fino ad oggi hanno scelto fra tre strade:
1- interpretare gli spazi
2- vivere sott'acqua in zone senza ostacoli (come le meduse, gli anemoni, ecc...)
3- sono morti. (evoluzione)
Noi umani abbiamo degli occhi invidiabili, vediamo meglio dei nostri amici cani, vediamo più in lontananza rispetto ai pipistrelli, vediamo un colore in più rispetto alle mucche, possiamo invidiare solo i falchi o i gatti.
Ciò ci ha reso capaci di vedere gli spazi un po' dappertutto; basta disegnare un cubo per farci notare subito che è un cubo, basta fare un disegno utilizzando i punti di fuga per illuderci di vedere due oggetti di dimensione diversa
Quando parliamo di forme bidimensionali sappiamo perfettamente la distinzione che c'è fra una figura piatta e un solido dotato di volume.
Prendiamo in considerazione contemporaneamente un punto, una linea, una figura piatta e un solido, ci chiediamo: "cosa c'è dopo il solido?"
Il punto ha zero dimensioni, la linea una, la figura piatta ne ha 2 e il solido ne ha 3; quale oggetto ha 4 dimensioni?
Iniziamo così a parlare di figure a più dimensioni, o "iper-solidi" (ipercubo, ipersfera, ipercilindro...)
possiamo creare una linea da un insieme di punti, proprio come tante perle impilate formano una collana,
possiamo creare un piano da un insieme di linee, proprio come tanti fili intrecciati formano un lenzuolo,
possiamo creare un solido da un insieme di piani, proprio come tante sfoglie impilate l'una sopra l'altra formano una gustosa fetta di lasagne.
quale gruppo di solidi crea un iper-solido? Possiamo immaginare un ipersolido come tanti disegni: Immaginiamo di disegnare tantissime volte una scatola, la stessa scatola,
Ogni scatola ha la stessa base, la stessa altezza e la stessa profondità. Concettualmente queste scatole sono come scatole vere, possono contenere liquidi, oggetti, aria ecc...
ritagliamo le scatole disegnate da ogni foglio, e impiliamo tutti i disegni l'uno sopra l'altro e li rileghiamo. Otterremo un libro, ogni pagina di questo libro è il disegno di un cubo, mentre tutto il libro
nel suo insieme rappresenta un ipercubo. Nelle scatole possiamo disegnare un insetto che cammina, partendo dalla prima pagina del libro disegnamo questo insetto sempre un pezzetto più avanti fino ad arrivare all'ultima pagina dove l'insetto ha attraversato completamente la scatola.
Dal nostro punto di vista questa scatola non è altro che un pezzo di carta con una scatola disegnata, ma concettualmente rappresenta una scatola voluminosa.
Possiamo vedere il libro come "la storia di un insetto che cammina in una scatola", che di fatto è un prisma di carta fatto di fogli esagonali, ma concettualmente rappresenta un ipercubo.
E come fa questo libro a rappresentare un oggetto a quattro dimensioni?
Immaginiamo di tracciare le tre dimensioni della scatola sull'ultimo disegno, quello che sta sopra tutti; gli assi sarebbero lunghezza, larghezza e profondità della scatola.
Se "uscissimo" dal disegno e prendessimo in considerazione tutti i disegni, potremmo tracciare un quarto asse che parte dal primo disegno, e attraversa tutti gli altri disegni nello stesso punto in verticale.
Un po' come se infilzassimo la pila di disegni con un chiodo.
Anche quest ultimo asse come tutti gli altri assi traccerebbe una lunghezza.
Ovviamente possiamo anche rappresentare Iper-Solidi di ordine superiore, anziché avere una pila di scatole disegnate, dovremmo avere una "pila di pile di scatole disegnate" e otterremmo un n-solido di ordine superiore, possiamo anche disegnare una pila di pile di pile di scatole disegnate o una pila di pile di pile di pile di scatole disegnate e così via...
Non possiamo creare un cubo nello spazio di un foglio, possiamo disegnare due quadrati uguali e unirne assieme gli angoli corrispondenti.
Allo stesso modo possiamo disegnare due cubi e unirne assieme i vertici.
PS:
Se ci fate caso, un cubo ha 6 facce uguali di forma quadrata, mentre un ipercubo ha 8 "iper-facce" uguali di forma cubica
(ipotizzo che un ipercubo a 5 dimensioni o 5-cubo abbia 10 "iper-facce" ipercubiche)