Però non è importante questa distinzione quello che conta è l’esito degli esperimenti. Restando all’articolo di G. Sulyok, J. Erhart e altri che ho citato, trattando della misurazione debole, l’affermazione finale (tradotta) è: “..I isultati dimostrano che la relazione dell’errore da disturbo di Heisemberg può sempre essere violata verso un limite più basso.”
Non metto in dubbio questo punto. Come ho già scritto gli articoli di cui parli non dicono che il principio ci incertezza non sia valido. Dicono semplicemente che, sotto determinate condizioni, l’incertezza può scendere a valori inferiori a quelli indicati da Heisemberg. E riformulano il tutto, in maniera da preservare il risultato originale sotto le condizioni a cui si riferisce e sotto le quali è sperimentalmente verificato.
Ma ai fini del discorso che stiamo facendo non è rilevante il valore dell’incertezza al disotto del quale è impossibile andare. Ciò che conta è che questa incertezza esista e che, nemmeno in linea ipotetica, sia possibile ridurla a zero.
Questo risultato è stato formulato per la prima volta, in questi termini, a proposito di fenomeni quantistici. Perché in questi casi abbiamo a che fare con la misura di quantità che possono essere estremamente piccole, per cui anche incertezze piccole portano ad errori percentuali tutt’altro che trascurabili.
Però non dobbiamo commettere l’errore di ritenere che il principio di incertezza abbia a che vedere unicamente con i fenomeni quantistici. Anche se in parte vado a ripetermi, torno a farti l’esempio di un’onda elettromagnetica (luce visibile) descritta nei termini classici dell’Ottica Ondulatoria. Tu senti spesso parlare di onda monocromatica. Ma dovrebbe essere chiaro che un’onda monocromatica è esclusivamente un’idealizzazione classica che non trova corrispondenza nel mondo reale. Nella realtà anche il laser più monocromatico che puoi realizzare ha una larghezza di banda di qualche MHz. Il che vuol dire che non è esattamente monocromatico: l’incertezza sulla sua frequenza (energia) è finita. La frequenza della luce visibile è dell’ordine delle centinaia di THz. Per cui una larghezza di banda di qualche MHz è veramente tanto piccola da consentirti di far finta, nella maggior parte dei casi, che l’onda sia veramente monocromatica. Ma “nella maggior parte dei casi” non significa “in ogni caso”. Immagina un esperimento reale, in cui il tuo fascio laser venga separato in due raggi luminosi (basta uno specchio semiriflettente). E poi immagina di ricombinare i due fasci facendoli sovrapporre su uno schermo. Se l’onda fosse veramente monocromatica, dovresti osservare effetti di interferenza in ogni caso. Invece, sperimentalmente, li osservi solo se la differenza di cammino percorsa dai due fasci distinti non supera un valore limite. Quello che accade è che il fatto che la lunghezza d’onda non abbia un valore esatto implica che, superato un certo limite temporale (tempo di coerenza), le relazioni di fase vengano perse. Poiché i due raggi si propagano alla stessa velocità, la differenza nelle distanze percorse si traduce in una differenza tra i tempi impiegati a percorrerle. Se la differenza tra i due cammini supera un valore limite (lunghezza di coerenza) i due raggi si rifiuteranno pervicacemente di interferire, pur essendo stati emessi dalla stessa sorgente. Tu potresti anche dirmi: si, ma questo è un limite tecnico! Sono io che non riesco a produrre un laser veramente monocromatico! Ma avresti torto. Perché io ti farei la domanda: anche in maniera puramente ipotetica, con un esperimento mentale, come penseresti di produrre un’onda veramente monocromatica?
La risposta te la do io: non potresti!
Come ti ho detto, un’onda, per essere monocromatica deve essere esistita da sempre e deve continuare ad esistere per sempre. Allora andiamo al momento di generazione dell’onda. Supponiamo che la sorgente si sia accesa al momento in cui, dopo il Big Bang, l’Universo è divenuto trasparente alla luce. Certamente non può essere stata accesa prima (spero che su questo ci si possa trovare in accordo). Allora questa onda non potrebbe avere un tempo di coerenza superiore all’età dell’Universo. Certo, la sua dispersione in frequenza sarebbe ridicola rispetto a quella del laser. Ma sarebbe comunque finita. Per cui l’onda non sarebbe veramente monocromatica. Ma non basta. La situazione sarebbe ancora peggiore. Un’onda monocromatica per essere tale deve avere vergenza nulla, cioè deve essere ciò che si chiama un’onda piana. Matematicamente è immediato descriverla. Ma in pratica? In pratica sei nei guai! Perché, per avere vergenza nulla, la tua onda deve avere un fronte d’onda infinito. Se il fronte d’onda fosse finito non potresti evitare effetti di diffrazione ai bordi: il limiti del fronte d’onda si comportano esattamente come un diaframma. Non importa che il diaframma abbia un’apertura enorme. Anche se piccolissimi ci saranno effetti di diffrazione ai bordi. Non osserverai certamente dei picchi di diffrazione. Ma il risultato sarà che il tuo fascio avrà una vergenza finita (tenderà ad allargarsi mentre si propaga). Non importa quanto piccola sia questa vergenza. La sua esistenza implica il fatto che la tua onda non sia veramente monocromatica. Cioè che non puoi definire, in linea di principio, un valore esatto dell’energia da assegnare alla tua radiazione. Come vedi tempo di coerenza ed energia della radiazione sono due quantità che, in linea di principio, non possono essere definite con errore nullo. Puoi far sì che il prodotto dei due errori divenga piccolo (non ci interessa quanto ai fini del nostro discorso) ma non puoi mai pensare di portarlo a zero. Come vedi, questa incertezza nei valori da assegnare alle due variabili tempo ed energia non è il risultato di un errore dovuto ad imprecisioni del tuo strumento di misura. E non è nemmeno dovuto a possibili disturbi che tu introduci con l’atto della misura. Stiamo parlando di un’incertezza nella definizione di questi valori che è intrinseca al concetto di onda elettromagnetica classica, quando lo vuoi trasporre nel mondo reale. Queste sono le incertezze di cui parla Heisemberg. Non erano un concetto nuovo nemmeno ai suoi tempi. Lui le ha semplicemente evidenziate in una maniera che le rendesse rilevanti per la MQ.
Di solito, la Fisica Classica (sia la Meccanica, che l’Ottica che l’Elettromagnetismo) propongono astrazioni, idealizzazioni che possono aiutare a riflettere sulle cose. Ma se uno perde di vista il fatto che si tratti di idealizzazioni e che, in quanto tali, hanno dei limiti di validità ben definiti si trova a credere che la Fisica Classica fornisca numeri certi e che la MQ si comporti in maniera diversa perché da solo numeri probabili.
Ti faccio un altro esempio che è di natura termodinamica, quindi macroscopico per definizione. Tutti sanno che, a pressione di 1 bar, l’acqua solidifica a 0 °C. Ma c’è un semplice esperimento che puoi fare (o cercarne qualche filmato esplicativo su youtube). Se vivi in un posto in cui, durante la notte, la temperatura scende al di sotto di 0°C (diciamo -5°C) tu puoi provare a mettere fuori dalla finestra, la sera, una bottiglia di acqua oligominerale (meno sali ed impurità ci sono, più facile è che riesca l’esperimento). Durante la notte la temperatura dell’acqua scenderà, lentamente, sino a -5 °C. La mattina scoprirai che l’acqua appare ancora liquida nonostante sia al di sotto del punto di congelamento. Prendi in mano la bottiglia e l’acqua rimane liquida. Poi dai un colpetto secco con le nocche sulla superficie esterna della bottiglia e immediatamente vedrai che l’acqua liquida si trasforma in una miscela di aghetti di ghiaccio dispersi in acqua. Sembrerà quasi una gelatina. E se ne misurerai la temperatura scoprirai che ora essa è diventata esattamente 0 °C!. Solo a questa temperatura ghiaccio ed acqua possono coesistere, alla pressione di 1 bar. Vediamo di capire cosa è accaduto. E’ vero che la temperatura di congelamento dell’acqua è di 0 °C. Però è anche vero che per trasformarsi in ghiaccio le molecole devono, localmente, riarrangiarsi per produrre la sua struttura esagonale. Questo riarrangiamento richiede un dispendio di energia (che poi viene riceduto sotto forma di calore latente di solidificazione). Se raffreddi l’acqua velocemente quello che accade è che le fluttuazioni locali di temperatura hanno un contenuto energetico sufficiente a far superare alle molecole d’acqua la barriera di energia necessaria alla formazione del ghiaccio. Queste fluttuazioni le hai sempre. Non le puoi fisicamente eliminare. Anche se metti l’acqua in un termostato di precisione (ammettendo che l’errore compiuto dal termostato sia zero) non le puoi eliminare. Appena cambi la temperatura (e per raffreddare l’acqua devi farlo) accendi delle fluttuazioni. Queste fluttuazioni decadranno esponenzialmente nel tempo. Il fatto che decadano esponenzialmente implica che dopo un poco saranno veramente piccole. Ma per portarle a zero devi attendere un tempo infinito. Solo dopo un tempo infinito avrai raggiunto l’equilibrio termodinamico. La termodinamica dei processi reversibili è una teoria dell’equilibrio. Quindi devi stare attento ai suoi limiti di validità. Ed ora torniamo all’acqua liquida sotto la temperatura di congelamento. Questa rimane liquida a causa di una barriera che non riesce a superare. Si trova in quello che si chiama uno stato metastabile. Si trova in un minimo locale di energia. Non è il minimo assoluto corrispondente all’equilibrio termodinamico. Quanto tempo resterà in questo minimo locale? Praticamente impossibile prevederlo. Perché, a causa delle fluttuazioni, piccole per quanto esse siano, il sistema andrà esplorando nel tempo tutte le configurazioni possibili corrispondenti al suo contenuto energetico (entalpia). Localmente, alcuni gruppetti di molecole di acqua andranno ripetutamente infinitamente vicino al limite del bacino di metastabilità (se vuoi, la loro configurazione le porterà esattamente in cima alla barriera). E dopo ritorneranno indietro perché, trovandosi localmente ad un contenuto energetico superiore a quello delle molecole che lo circondano, scambieranno energia con queste e ricadranno verso l’attrattore costituito dal punto di equilibrio metastabile. Ora capirai che, dato il numero enorme di molecole, esiste un numero enorme di stati (configurazioni diverse della disposizione delle molecole e delle loro energie locali) che corrispondono tutti all’unico valore di energia del sistema in toto. Il punto è che tutti questi stati (il cui numero dipende dai gradi di libertà del sistema) sono equiprobabili (Boltzmann). Il che vuol dire che, se aspetti un tempo sufficiente, il sistema raggiungerà spontaneamente uno stato in cui un numero sufficientemente grande di molecole prime vicine si troverà in cima alla barriera. La fluttuazione termodinamica associata a questo gruppo di molecole sufficientemente grande sarà troppo grande perchè il sistema riesca a dissiparla velocemente. Localmente, il sistema cadrà dall’altra parte della barriera, verso il minimo di energia assoluto, e andrà a solidificare. Solidificando rilascerà il calore latente di solidificazione e si porterà ai fatidici 0 °C. Questo pezzettino di ghiaccio sarà quindi ad una temperatura superiore a quella del liquido circostante. Per cui avrai un improvviso intensificarsi delle fluttuazioni termodinamiche locali. Altri gruppi di molecole andranno a solidificarsi, con ciò che ne consegue. Tutto il sistema transiterà verso l’equilibrio in un processo a catena, in maniera coerente. Il processo si innesca in maniera apparentemente probabilistica e quando avviene lo fa in maniera caotica (in senso matematico). Ma il caos genera un comportamento coerente. Le strutture che si formano sono relativamente ordinate. Non formi delle masse incoerenti di ghiaccio. Si formano dei dendriti. Strutture ramificate, self-similari, che si divaricano, nel caso dell’acqua, ad angoli di 60°. Il perché si formino dendriti è presto detto. Il sistema cade verso lo stato stabile (stessa energia ma entropia più alta) e cerca di farlo quanto più velocemente possibile. L’unica via di fuga che consenta di raggiungere velocemente l’equilibrio è quella di aumentare quanto più possibile la superficie dell’interfaccia liquido-solido. Ecco perché si formano dei dendriti! In sostanza il sistema fugge dallo stato metastabile massimizzando il rate di produzione di entropia.
Questo risultato è decisamente contrario a quanto aveva indicato Prigogine, che invece aveva previsto un minimo nel rate di produzione di entropia. Di nuovo, non è che Prigogine avesse sbagliato del tutto. Semplicemente la sua descrizione guardava da una prospettiva un po’ troppo particolare ciò che stava accadendo nello spazio delle fasi. Una volta individuata l’approssimazione implicita nella descrizione di Prigogine, diviene quasi immediato formulare il caso generale. Un po’ quello che come hai visto accade con la formulazione di Heisemberg. Ma, in questo caso, la correzione è un tantino più drastica per cui la formulazione di Prigogine ne esce un tantino più malconcia. Ciò non significa che Prigogine avesse detto una corbelleria totale. Ha detto comunque tantissime cose interessanti e un errore di prospettiva è da considerare come un errore veniale. Soprattutto tenendo in conto del fatto che Prigogine non era un fisico.
Tornando ai dendriti, la loro struttura dipende dalle proprietà chimiche della sostanza (in questo caso dai ponti idrogeno che devono legare tra loro le varie molecole). Ma, indipendentemente dal tipo di liquido che prendi in considerazione, avrai sempre dei dendriti! Ovviamente l’acqua (o il liquido su cui sta effettuando l’esperimento) non solidifica totalmente. Dipende tutto dal calore latente che devi rilasciare (cioè dal livello energetico di partenza o, se preferisci, dalla temperatura di sottoraffreddamento). La percentuale di molecole coinvolte in strutture solide dipenderà dal valore dell’energia da rilasciare. In ogni caso tutto il campione andrà a 0°C, cioè al suo stato di equilibro corrispondente al suo contenuto energetico. Tutto questo discorso per dirti che, in un sistema macroscopico (un bicchiere d’acqua) avvengono fenomeni che non puoi prevedere esattamente. Non puoi prevedere il momento in cui il campione transirà verso lo stato stabile (perché l’esplorazione degli stati accessibili avviene in maniera erratica). E quando transisce puoi solo dire che una certa percentuale di molecole sarà coinvolta in una struttura cristallina mentre le rimanenti faranno parte di un bulk liquido. non potrai mai prevedere, ad esempio, quali molecole del liquido metastabile andranno a far parte della struttura di un dendrite. Questo non significa che il processo verso l’equilibrio non sia deterministico. E non vuol dire nemmeno che si siano perse le relazioni di causa-effetto. Vuol dire semplicemente che il processo non è più un processo lineare, che il futuro non dipende solo dallo stato attuale ma da tutta la storia che ha portato al raggiungimento di quello stato eche tu non puoi fare previsioni esatte perché non hai la conoscenza esatta di tutta una serie di valori che ti servirebbero. Di nuovo, non è che tale conoscenza ti manchi perché non sei capace di fare una misura precisa. Tali variabili non sono definibili con esattezza assoluta. Ad esempio il concetto di temperatura è un concetto di equilibrio. Quando dico che il mio campione è a -5°C dico solo che, mediamente, si trova a quella temperatura. Ma, rigorosamente, a causa delle fluttuazioni (cioè a causa di una condizione di non equilibrio) il valore della temperatura non è nemmeno definibile (da un punto di vista rigorosamente termodinamico). La temperatura è un concetto che è definito dalla Termodinamica dei Processi Reversibili. Ma tu, ora, hai a che fare con un processo fortemente irreversibile. La Termodinamica dei Processi Reversibili non è nemmeno lontanamente in grado di approssimare la situazione. Quindi non conosco il tempo di vita dello stato metastabile (perché non è a priori definibile) né conosco esattamente il valore dell’energia del sistema (dato che l’energia associata alle fluttuazioni non è esattamente definibile). Di nuovo ci troviamo dinanzi ad uno stato in cui energia e tempo sono affetti intrinsecamente da un errore che non può essere ridotto a zero (a meno di non attendere per un tempo infinito perché le fluttuazioni si estinguano). Ci piaccia o meno, siamo di nuovo di fronte al principio di incertezza. Che come vedi non ha a che vedere con il mondo quantistico. Te lo trovi dinanzi anche in un sistema macroscopico come un bicchier d’acqua.
Capisco che al momento molte delle tue domande non abbiano ancora una risposta. Però se non chiariamo prima il significato più profondo del principio di incertezza (valido in tutto il mondo reale) non credo che possiamo fare molta strada. Le tue domande non sono tanto ingenue, quindi occorre chiarire bene le premesse per poter andare avanti.
Concludendo, vorrei farti notare come la fuga dalla metastabilità abbia molte cose in comune con l’effetto tunnel. Il sistema non ha energia sufficiente a superare la barriera. Ma le incertezze intrinseche nella definizione del suo stato implicano che il sistema non possieda un’energia ben precisa. Se l’incertezza sull’energia (le fluttuazioni) è sufficiente a superare la barriera il sistema lo farà (ma non so quando) e si porterà dall’altra parte. Tutto ciò potrà avvenire ora o tra cento anni. Per cui se penso ad un’osservazione da fare in un istante ben preciso (non so, tra dieci minuti) posso solo prevedere quale sia la probabilità che il sistema sia transito o no. Di più non posso fare. Stessa cosa di ciò che avviene in MQ! Ma questa volta abbiamo a che vedere con un sistema macroscopico. Semplicemente la termodinamica di equilibrio (o se vuoi, quella dei processi reversibili) non è più applicabile. Il viaggio verso l’equilibrio è un viaggio di sola andata. Serve una Termodinamica dei Processi Irreversibili. Vedi l’analogia con il processo di misura in MQ? In definitiva, non vi è alcun conflitto. Bisogna solo porre un’attenzione estrema ai limiti di validità di una Fisica Classica che, semplificando un po’ troppo, propone modelli che descrivono idealizzazioni corrispondenti a sistemi temporalmente invertibili.
Non so quanto io sia riuscito ad essere chiaro. Da quello scrivi e dagli articoli che sembra tu sia stato in grado di leggere ho dedotto che il tuo livello di conoscenza scientifico sia abbastanza elevato. Se ho individuato correttamente il tuo livello di competenza, tutto il discorso che ti ho fatto sulla termodinamica dei sistemi metastabili devi immaginarlo come una descrizione fatta nello spazio delle fasi. Le barriere di energia di cui parlo sono ovviamente barriere di energia libera. E i minimi di energia di cui parlo sono dei minimi nella ipersuperficie n-dimensionale che descrive l’energia libera del sistema nello spazio delle fasi. Se ho sbagliato la mia valutazione del tuo livello di competenza, lascia stare queste ultime precisazioni. Se ci comprendiamo, almeno in linea generale, su ciò che, in maniera un tantino semplificata ho scritto, possiamo andare avanti comunque.
Rimane il fatto che comprendere la termodinamica che soggiace a tutta la formulazione della MQ è un compito propedeutico a quello di tentare una risposta alle altre tue domande. Prima tra tutte quella connessa a ciò che tu definisci come "derivazioni statistiche dell’equazione di Schroedinger". Qui devo dire che mi pare che tu, pur avendo compreso la matematica presente nei lavori citati, ne abbia frainteso un tantino il significato fisico. Ma qui mi fermo. Se non ci capiamo prima sul significato delle relazioni di incertezza (in generale e non solo nel mondo quantistico) e se non riusciamo ad aver chiare le idee sulle implicazioni termodinamiche è difficile riuscire ad andare avanti. L’ho già detto altre volte anche in questo forum. La Termodinamica è la Regina delle Teorie Classiche. E non solo di quelle classiche, in verità. Ed è una teoria che, a differenza delle altre teorie classiche non ti dice cosa accadrà ma cosa potrà accadere o non accadere. Questa è una differenza fondamentale tra la Termodinamica e la Meccanica (o l’Ottica, o l’Elettromagnetismo). L’irreversibilità (la freccia del tempo) compare in Termodinamica (se parliamo di teorie classiche). E la MQ ha un significato profondamente termodinamico. Per capire se la MQ sia o non sia in contrasto con le teorie classiche, dobbiamo riuscire a confrontarla con la Termodinamica. Cerco di essere chiaro: non ha molto senso confrontare le previsioni della MQ con quelle della Meccanica Classica. La Meccanica Classica è invertibile rispetto al tempo, per cui è dichiaratamente una approssimazione grossolana. La MQ invece non è invertibile rispetto al tempo (a causa di quel processo che si chiama “misura”). Quindi, quando vuoi scendere nel significato delle cose, l’unico confronto possibile è tra la MQ e la Termodinamica.