[email protected] ha scritto:
Sto cercando di costruire un'equazione metrica del mio modelo.
Spero che alcune delle mie basi (integrali e calcolo della lunghezza degli archi) mi tornino utili.
Provo a spiegarti perchè non puoi farlo, in linea di principio. Quando ti ho chiesto quale fosse la metrica del tuo modello, nel post a cui rispondevi, l'ho fatto in maniera provocatoria sapendo che non potevi avere una risposta. Ma non sono così sadico da farti perdere tempo inutilmente!
Parto ripostando una delle due figure. Aspie96 sarà contento: aggiungo una ulteriore palla di decoro!
Allo stesso tempo spero che tu non mi denunci per plagio...ti sto citando!
Questa è la figura che chiarisce la tua scelta delle coordinate.
In questa figura il tuo universo è spazialmente unidimensionale. L'unica coordinata spaziale è la
q (la chiamo così per evitare confusione con gli usuali assi cartesiani) che definisce una posizione sulla circonferenza in termini di una distanza da un'origine arbitraria sulla circonferenza stessa. Questa coordinata è un vettore, perchè in ogni punto della circonferenza è definita da un numero (la lunghezza della distanza dall'origine) e da un verso (positivo o negativo, a seconda di come il punto sia dislocato lungo la circonferenza). Poi tu hai una coordinata temporale che è espressa come il raggio della circonferenza. Tu puoi, sul piano del disegno, tracciare un raggio in una direzione a piacere. Ma questo non significa che a raggi diversi corrispondano tempi diversi. Nella tua rappresentazione, se il raggio è diretto verso l'alto, verso il basso o in qualsiasi altra direzione, non cambia nulla: il tempo è sempre lo stesso. Perchè, nella tua rappresentazione, che tu te ne renda conto o no, il tempo è esclusivamente uno scalare: è espresso unicamente dalla misura del raggio. Se tu cambi posizione lungo la circonferenza, la tua coordinata spaziale cambia ma la coordinata temporale è sempre la stessa.
Quindi, se mi muovo lungo la circonferenza (che è la tua linea di universo) la distanza spaziale (ovviamente curvilinea nel modello) tra due punti posti alla coordinate
q[sub]1[/sub] ed
q[sub]2[/sub], arbitrarie è semplicemente data dal modulo della differenza
q[sub]2[/sub]-
q[sub]1[/sub]. Se avessi anche le altre due coordinate spaziali (trasformando la circonferenza in un'ipersuperficie 3D) otterrei immediatamente la stessa cosa per le altre due coordinate. Il risultato è ovvio: la distanza spaziale tra due punti in posizioni arbitrarie sulla tua ipersuperficie si riduce al calcolo della radice quadrata della somma dei quadrati dei tre spostamenti lungo i tre assi spaziali. In pratica, spazialmente vale il teorema di Pitagora, almeno localmente (vale in generale, ma al momento, accontentiamoci di una validità locale). Spazialmente il tuo sistema è euclideo, altrimenti il teorema di Pitagora non varrebbe. Guarda il punto in alto, dove hai tracciato la tangente alla circonferenza. Diciamo che, in quel punto, la tangente che hai disegnato è l'asse delle
q. Gli altri due assi non possono essere altro che due assi ortogonali a quello già tracciato che lo intersecano nel punto di tangenza. In pratica, hai definito una terna di assi cartesiani che vale, almeno localmente, e che ha l'origine nel punto di tangenza.
Credo che sin qui non puoi che essere d'accordo con me. Il disegno è tuo: io sto solo analizzando cosa se ne può dedurre.
Ma fermiamoci al modello semplice a due dimensioni, rigorosamente conforme al disegno, cioè ad una dimensione spaziale e ad una dimensione temporale.
Tu, arrivati a questo punto, fai una scelta! Decidi che il tempo sia un vettore, con una direzione ed un verso. Qui devi notare che assegnare una direzione ed un verso è una cosa diversa dall'assegnare un segno (+ o -) al tempo. Questa operazione sarebbe consistente con un tempo che è uno scalare: direbbe semplicemente che la sua estensione è rappresentabile da un numero reale, che sarebbe corretto. Tu stai improvvisamente trasformando il tempo in un vettore. Localmente sarebbe corretto: è ciò che fa la relatività. Che per te il tempo sia divenuto un vettore è evidente dal fatto che, localmente, stai tracciando la velocità della luce come un ulteriore vettore, inclinato di 45° sia con l'asse spaziale che con quello temporale. Se il tempo non fosse un vettore, non potresti tracciare la velocità, per il semplice motivo che dire che si traccia una retta inclinata di 45° rispetto ad uno scalare è una frase priva di alcun significato. Questa cosa, che sino a questo punto potrebbe apparire lecita ti porta a dire che, almeno localmente, il tuo modello è conforme allo spazio-tempo relativistico. Quindi, in linea di principio, sei portato a credere che se per la relatività valgono le trasformazioni di Lorentz, allora queste devono valere, almeno localmente, anche per il tuo modello.
Anche qui credo che se ci rifletti solo un paio di secondi, potrai concordare che siamo apparentemente in accordo.
Ed ora viene il problema.
La relatività è una geometria dello spazio-tempo. In pratica è un modello geometrico per rappresentare lo spazio-tempo, nel nostro caso semplificato su un piano. Essendo un modello della geometria del nostro spazio rappresentativo deve descrivere una proprietà che rimane invariante da punto a punto nel piano. In mancanza di ciò, ogni punto del piano avrebbe proprietà diverse e questa proprietà non sarebbe più invariante, cioè non descriverebbe in alcun modo il nostro spazio che quindi resterebbe indefinito. Questa proprietà invariante è quella che si chiama metrica. Nello spazio euclideo significa che vale il teorema di Pitagora. Nello spazio relativistico significa un'altra cosa: è una proprietà diversa. Il tuo disegno in cui inclini gli assi e scambi il lato
t con il lato
d è un non senso. Quella cosa che hai disegnato non ha nulla a che vedere con le trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz non fanno nulla che assomigli al tuo scambiare un cateto con l'ipotenusa per "salvare" il teorema di Pitagora. Il teorema di Pitagora non si salva affatto. Il teorema di Pitagora non è più valido. La geometria descritta dalla relatività e dalle trasformazioni di Lorentz dice che lo spazio in cui rappresentiamo il nostro mondo (il piano spazio-temporale nel nostro disegno) è iperbolico. Ecco cosa rappresentano le curve che io ho disegnato. Sono linee dello spazio tempo lungo le quali la metrica è costante. Ma quando cambio una posizione nello spazio o nel tempo, o quando cambio velocità, cambiano le posizioni dei punti nello spazio-tempo ma non cambia lo spazio-tempo. Tu hai visto che quando ho cambiato velocità, e quindi ho cambiato sistema di riferimento, i punti si sono mossi lungo le iperboli. Ma le iperboli quelle sono e quelle restano. Le iperboli rappresentano la struttura dello spazio tempo che deve rimanere invariata...altrimenti non c'è nulla che sia possibile calcolare o trasformare. Qualcosa che esista di per se deve esserci, senza un riferimento non c'è nulla che si possa dire.
Nel tuo modello, anche mantenendo costante il tempo, quindi restando sulla stessa circonferenza, non c'è nulla che resti invariato. Se io mi sposto in un punto diverso della circonferenza, la tangente avrà un'altra direzione. Anche il tempo avrà un'altra direzione. In pratica, cambiare punto sulla circonferenza significa ruotare sia l'asse spaziale che quello temporale. Anche la direzione della velocità della luce che traccerai sarà una funzione del posto. Quindi vedi subito che hai perso immediatamente una proprietà di invarianza che avevano sia il modello newtoniano che quello relativistico: cambiare l'origine degli assi non cambia nulla, si tratta di una pura traslazione degli assi senza alcuna rotazione. In pratica, spostarmi da un punto all'altro non cambia la struttura dello spazio. Questo è sempre descritto da due assi che rimangono sempre paralleli a se stessi. Questa invarianza significa che un punto dello spazio è sovrapponibile all'altro, senza distorsioni. Il tuo modello non gode di questa invarianza, nemmeno localmente: basta spostarsi di poco e gli assi ruotano. Poi, se applichiamo le trasformazioni per un cambio di velocità (tu lo hai fatto anche se sai solo tu con quale procedura) i punti del tuo universo migrano da una circonferenza ad un'altra (o ad un'ellisse, non ha importanza). Per una trasformazione di coordinate conseguente ad un cambio di velocità le tue linee di universo cambiano. Se cambiano le linee di universo significa che cambia la metrica. Quindi è ovvio che il tuo modello è privo di una metrica, e in conseguenza di ciò non può essere mai sovrapponibile ad un modello che invece una metrica ce l'ha.
Perchè il tuo modello è privo di metrica?
Ciò avviene perchè, in un tentativo di conciliarlo con le trasformazioni di Lorentz, tu lo stai sovra-definendo.
Cerco di essere chiaro.
Diciamo una volta per tutte che nel tuo modello il tempo è un vettore. Sarà definito da una lunghezza, che chiamiamo
t e da un angolo (l'angolo tra il vettore tempo e l'asse orizzontale) che indichiamo con φ. Ti accorgi che per individuare il vettore tempo tu hai bisogno di una coppia di valori (
t,φ). Una coppia di valori significa che il tempo è individuato da due coordinate. Poi, tu hai sempre la tua coordinata spaziale, la vecchia
q. Improvvisamente il modello semplificato che doveva essere bidimensionale è divenuto tridimensionale.
E' ovvio che una coordinata è ridondante!
Guarda con attenzione il tuo disegno.
Ed ora immagina di tracciare, sovrapposti al tuo disegno, una coppia di assi coordinati convenzionali, con origine coincidente con il centro del tuo cerchio. Lo posso sempre fare. Non ho cambiato nulla nell'essenza del tuo disegno e le cose le posso calcolare utilizzando il riferimento che preferisco, purchè non distorca il disegno.
Ora, prendiamo in considerazione un punto qualsiasi della circonferenza. E tracciamo il raggio-tempo che dall'origine punti verso il punto prescelto. Lo vedi? Il tuo punto è posto ad una distanza
t dal centro ed il raggio tempo forma un angolo φ con l'origine.
Lo vedi?
Se non lo vedi, disegnalo.
Ora fatti questa domanda. Che coordinate ha questo punto rispetto ai nuovi assi che abbiamo tracciato? Ricordati un minimo di trigonometria spicciola. La risposta è ovvia! La coordinata
x vale
tˑcos(φ) mentre la coordinata
y vale
tˑsin(φ).
Sei d'accordo?
Se sei d'accordo allora ti rendi conto che la coppia di coordinate (
t,φ) definisce univocamente il punto. La coordinata spaziale si dimostra superflua. Non giova a nulla ed è ridondante. Ecco la sorgente di difficoltà a scoprire la metrica del modello!
Una volta chiarito il punto fai questo semplice calcolo [
tˑcos(φ)][sup]2[/sup]+[
tˑsin(φ)][sup]2[/sup]=
t[sub]2[/sub]ˑ[cos[sup]2[/sup](φ)+sin[sup]2[/sup](φ)]=
t[sup]2[/sup].
Cosa hai trovato?
Hai trovato che è bastato cambiare opportunamente gli assi che descrivono il tuo modello (in modo che la stessa coppia di assi descriva TUTTO il modello) ed eliminare la coordinata ridondante per scoprire che "il quadrato della distanza di un tuo punto-universo dall'origine è uguale alla somma dei quadrati delle due coordinate del punto lungo i due nuovi assi". Cioè hai trovato che il teorema di Pitagora vale in ogni punto del tuo modello. Più prova di questa che il tuo modello è euclideo non so darti proprio!
Ora tu potrai anche dire che ciò non è vero. Ed io sono disposto ad ascoltarti e cercare di capirti. Ma ora non puoi limitarti a dirmi che non è vero. Ho fatto uso di una matematica da terza media. Chiunque può comprenderla. Se trovi un errore nel calcolo indicalo ed io, nel caso, sarò felicissimo di darti ragione. Ma continuare a dire che la geometria non è euclidea senza dire il perchè è privo di significato.
Al momento fregatene di ciò che credi di fare con le tue trasformazioni. Io dico che il tuo sistema a riposo è euclideo mentre è evidente che il sistema a riposo relativistico è iperbolico. Questa è l'affermazione che sto facendo. Per favore, limitati a questa affermazione.