ma questo è un ragionamento riferito all'area della spira e non riesco a rifletterne (fisicamente) gli effetti sugli elettroni del filo.
Non è esattamente così. Ricordati che le equazioni hanno un formalismo che discende da pre-esistenti teorie pensate per la dinamica dei fluidi. Te l'ho già detto, quando ad esempio ti ho detto che il termine
flusso è un'eredità della teoria dei liquidi. In sintesi, Maxwell & Co. che non sapevano nulla della Meccanica quantistica e quindi dei fotoni, si accorgono dagli esperimenti che le cose funzionano come se vi fosse un trasferimento di energia dal magnete alla spira. Il campo non è altro che il tramite con cui tale energia viene trasferita. Non sanno esattamente cosa sia questa energia ma si accorgono che le cose funzionano
come se ci fosse un fluido che scorre partendo dal magnete e raggiungendo la spira. E, di conseguenza, descrivono il tutto come causato da questo flusso di energia. Col senno di poi non è stato detto nulla di veramente erratto. Esiste un flusso di qualcosa senza ombra di dubbio. E questo qualcosa è un flusso di fotoni. Quindi, il fluido è discreto e non continuo come i fluidi decritti dall'idrodinamica. Ma, se guardi le cose da una prospettiva macroscopica, questo flusso di fotoni può veramente essere descritto come un continuo. Questo è vero, tra parentesi, per qualsiasi fluido. L'acqua che esce dal tuo rubinetto ti appare come un continuo per cui tu parli di flusso dell'acqua attraverso il rubinetto e lo misuri in litri al secondo diviso la sezione del tuo rubinetto. E quindi sai che, in verità, la tua acqua è costituita da molecole per cui è tutto tranne che un continuo.
Ora immagina di avere in mano la tua canna da giardino e di sparare in aria un getto d'acqua. Vedrai che il tuo getto si allarga durante la traiettoria. Ora, tenendo stabile il tuo getto in espansione, prendi un anello e fai in modo che questo possa intercettare il tuo getto. Ora domandati come varia il flusso avvicinando od allontanando il tuo anello al bocchettone della tua pompa. Credo che ti sia ovvio vedere che, dato che il raggio del tuo anello è fisso, il flusso attraverso l'anello cambi avvicinandoti o allontanandoti al bocchettone di uscita. Il flusso cambia perché il tuo getto si espande propagandosi. Il tuo anello vede la sorgente attraverso un angolo solido diverso se ti avvicini o ti allontani dal bocchettone. La quantità di acqua emessa dal tuo bocchettone è una costante, ma la quantità di acqua intercettata dal tuo anello cambia con la distanza di questo dal bocchettone. Se tu riuscissi a produrre un getto di acqua che rimane collimato, non espandendosi, ovviamente la quantità di acqua intercettata dal tuo anello non dipenderebbe più dalla distanza anello-bocchettone. Questo ovvio risultato è coerente con quanto detto prima. Se il tuo getto di acqua è collimato, questa cosa rende immediatamente impossibile decidere (guardando solo un tratto del getto) dove sia esattamente collocata l'uscita del bocchettone. In pratica, dato che l'angolo di vergenza del getto è nullo, la tua situazione diviene immediatamente equivalente ad una situazione in cui il getto fosse collocato ad una distanza infinita. Il tuo anello vede quindi le cose come se la sorgente fosse collocata all'infinito. Quindi se sposti il tuo anello un paio di metri avanti o indietro non cambia nulla. La distanza anello sorgente rimane sempre infinita e, di conseguenza, non varia con la posizione dell'anello e quindi il flusso risulta indipendente da dove collochi l'anello lungo il getto.
Sostituisci la parola acqua con la parola energia e sostituisci il tuo anello con la tua spira ed hai visualizzato immediatamente di cosa si parli quando, nel caso dell'induzione, si parla di flusso.
Ora fai un altro esperimento mentale, Immagina di voler misurare la forza esercitata dall'acqua che colpisce il tuo anello. Misurarla è relativamente facile (potresti utilizzare la tua bilancia). Ma ora immagina di voler trovare una maniera per calcolare le cose senza fare ogni volta la misura. Cioè immagina di voler formulare una teoria. Hai due possibili strade. Nella prima ti calcoli la traiettoria di ogni singola goccia di acqua. Calcoli quante gocce di acqua colpiscono una piccola porzione del tuo anello nell'unità di tempo (una volta fissata la distanza anello-bocchettone). Ed infine sommi tutte le forze che hai calcolato, punto per punto lungo l'anello, per ottenere la spinta totale subita dall'anello.
La seconda possibilità che hai è estremamente più semplice e più immediata. Conosci il flusso di acqua all'uscita del bocchettone. Conosci la vergenza del getto per cui puoi immediatamente calcolare quanta acqua passerà nell'unità di tempo attraverso il tuo anello, in qualunque posizione tu lo metta. Ora, è del tutto ovvio che, in questa maniera, tu stai calcolando tutta l'acqua che passa attraverso l'area del tuo anello, cioè stai calcolando sia l'acqua che effettivamente lo colpisce che quella che invece passa attraverso il buco senza produrre alcun effetto. Ma siccome il tuo anello è quello che è, tu sai in ogni caso quale porzione del flusso totale che viene intercettato dalla sua area colpirà effettivamente l'anello. La forza subita dall'anello o da un disco pieno con lo stesso diametro messo nella stessa posizione scaleranno entrambi al variare della distanza con la stessa legge. Cioè le forze esercitate sull'anello o sul disco pieno risulteranno tra loro proporzionali. E la costante di proporzionalità non cambia perchè è definita a priori dalla geometria dell'anello. Cioè è data dal rapporto tra la superficie del disco pieno e la superficie della corona circolare che costituisce il tuo anello. Per cui, se tu non conoscessi esatamente la geometria del tuo anello (quanto è spesso) un calcolo del flusso attraverso l'intera superficie non ti fornisce la forza effettivamente esercitata sull'anello. Ma ti fornisce un dato che è corretto a meno di una costante a te ignota.
Ma ora, immagina di non essere interessato a conoscere effettivamente la forza esercitata sull'anello. Tu sei interessato solo a conoscere le variazioni della forza causate da un cambio di posizione del tuo anello. Per quanto detto prima, se il cambio di posizione produce un dimezzamento della forza esercitata sul disco, puoi stare ben certo che anche la forza esercitata sull'anello si sarà dimezzata. La variazione della forza con la posizione è quella che si chiama la derivata della forza. Dato che la forza è proporzionale al flusso questa è la derivata del flusso. E la derivata del flusso per il disco pieno e per l'anello hanno esattamente lo stesso valore, nell'esempio che ti ho dato il valore è 0.5.
Come prima, al posto della parola forza metti la parola flusso, al posto della parola acqua metti la parola energia (o la parola campo che descrive come varia l'energia nello sapzio durante la propagazione). E così ti accorgi del perchè calcolare la derivata del flusso attraverso l'area della spira è una cosa esattamente identica a calcolare la derivata del flusso lungo la spira. I flussi attraverso l'area della spira o attraverso la corona circolare rappresentata dalla spira sono ovviamente enormemente diversi. Ma a noi interessano solo le derivate di questi flussi e le derivate sono identiche. Capisci perchè questo approccio è molto più semplice? Posto che a me interessano solo le derivate io posso fregarmene di come sia fatta fisicamente la mia spira (quanto è grosso il cavo che la costituisce). A me interessa solo conoscerne il diametro esterno, o la ua area, che è l'unica cosa rilevante per il calcolo della derivata. E' un modo un po' tortuoso di raccontarti cosa dice quel famoso teorema, ma spero di essere riuscito a farti intuire il punto cruciale.
però la forza di Lorentz si capisce pensando alla relazione fra magnete e singoli elettroni
Qui mi pare che tu stia sbagliando, a meno che tu non abbia scritto male ed io ti stia fraintendendo.
La forza di Lorentz non agisce sugli elettroni! La forza di Lorentz agisce solo sugli
elettroni in movimento cioè agisce solo su una corrente. Non può agire sulle cariche in quanto tali. In un tubo catodico con il solo campo magnetico non faresti un bel nulla. Gli elettroni vengono accelerati dalla presenza dell'anodo, cioè sono accelerati unicamente dal campo elettrico. Una volta che sono accelerati, e quindi hai una corrente, il campo magnetico è capace di deviarli. Ma il campo magnetico può solo deviare gli elettroni. Non può cambiare il modulo della loro velocità. Per la verità se c'è qualcosa che potrebbe non essere del tutto chiara è proprio la forza di Lorentz. Ed è lei che, quando non compresa perfettamente inquadrandone il suo significato all'interno delle equazioni di Maxwell, può portare a fraintendimenti e quindi ad apparenti asimmetrie.
Mi spiego: se la tua spira è descritta in movimento, ogni elettrone esistente sulla spira si muove e quindi è una corrente. Ed ecco che la forza di Lorentz può agire su questa corrente deviandola e facendola scorrere lungo la spira.
Ma se tu ti metti nel sistema di riferimento della spira gli elettroni per te sono fermi. Tu non vedi alcuna corrente. Per cui non capisci come possa fare la forza di Lorentz ad agire. La forza di Lorentz agisce sulle correnti per cui, niente correnti niente forza di Lorentz. Questo fatto costringeva la gente, in questa situazione, a rivolgersi ad una descrizione in termini di flusso e quindi generava le asimmetrie.
La soluzione non è poi cos' complicata. Il problema è che non puoi mai descrivere l'azione della forza di Lorentz stando nello stesso sistema di riferimento della carica. Devi per forza descriverla nel sistema di riferimento del campo. E' il campo che deve vedere la corrente. Poi, ci si rende conto del fatto che il moto assoluto non esiste e che contano solo i moti relativi e questa semplice constatazione risolve l'asimmetria della forza di Lorentz.
Ma è chiaro che l'asimmetria apparente sta solo nella forza di Lorentz. La descrizione in termini di flusso e di vergenza del campo proposta da Maxwell non ha mai avuto asimmetrie. Una volta che la forza di Lorentz viene ricondotta all'interno delle equazioni di Maxwell anche le sue asimmetrie spariscono per incanto.
Tornando ora alla tua spira, per cercare di farti visualizzare meglio le cose prova ad immaginare due spire con lo stesso diametro esterno ma una costituita da un filo di un decimo di millimetro e l'altra costituita da un cavo con un diametro di 1 cm.
Se il diametro esterno è identico è ovvio che l'area del buco è diversa.
Ma nelle equazioni di Maxwell (o in quella di Faraday, se preferisci) non compare l'area del buco. Quella che compare è l'area esterna. Per cui, a parità di campo e di movimento, le derivate del flusso attraverso le due spire saranno identiche. Queste derivate sono quelle che ti danno il valore della f.e.m. lungo le due spire che è ovviamente lo stesso in entrambi i casi. Per cui anche le correnti saranno le stesse. Per lo meno vorrebbero essere le stesse sino a quando posso assumere che la resistenza ohmica delle due spire sia nulla. Cioè il risultato della forza di lorentz che agisce lungo le due spire è identico. Questo lo puoi verificare facilmente in pratica. E questo e null'altro di diverso dice l'equazione di Faraday che lega la forza elettromotrice, cioè la risultante delle forze di Lorentz che agiscono sugli elettroni, alle variazioni del flusso attraverso l'area della spira.
Ovviamente, avendo cura di rispettare l'assunzione di resistenza ohmica nulla per entrambe le spire! Voglio dire che nel cavo da 1 cm di diametro potrai far passare tranquillamente una corrente di 1 A. Se provi a fare lo stesso con il cavo da 0.1 mm la sua resistenza non potrà più essere considerata nulla, il cavo si surriscalderà immediatamente facendo ulteriormente aumentare il valore della resistenza e immediatamente si fonderà. Anche questo è previsto dalle equazioni di Maxwell. Quando disegni un alternatore basandoti sull'equazione di Faraday, ovviamente dovrai dimensionare la sezione del cavo della spira per renderla compatibile con le correnti che ipotizzi di dover estrarre. Tutto questo già lo sai. Te lo ricordo solo perchè questo dettaglio non è evidentemente descritto nell'equazione di Faraday da sola. Ma le equazioni di Maxwell, nel loro insieme, lo contengono.
