se riesci a farmi un esempio con dei numeri te ne sarei grato
Il problema è che per farti un esempio con dei numeri dovrei postarti un paio di pagine di calcoli. Perchè non si tratta di calcolare dei numeri ma di calcolare una funzione.
In pratica, dato che la funzione è scritta come:
tu devi per prima cosa calcolarti la somma della serie, che sarà una funzione e non un numero dato che la parte immaginaria è una variabile e non un valore.
Tu hai già postato un esempio del calcolo di un valore, quando hai postato:
questo è il calcolo di un valore della funzione e non della funzione, spero che ti sia chiara la differenza.
In pratica questo è il valore che la funzione produce quando tu assegni il valore 3 alla variabile z=x+iy. Il che vuol dire che assegni x=3 ed y=0. Questa assegnazione riduce la variabile complessa ad una variabile reale. Per cui anche il valore della funzione diviene un numero reale.
Ora il problema è che per capire come viene quel risultato tu dovresti riuscire a calcolare la somma di una serie infinita. E' evidente che tu non sappia come fare nel caso di una funzione reale. Nel caso di una funzione complessa i calcoli divengono più complicati ed alla fine devi riuscire a separare la parte reale da quella immaginaria. In pratica dovresti ricalcolare la somma della serie rappresentata nella prima equazione sopra, sostituendo la x con la variabile complessa z.
L'esempio che tu hai postato rappresenta uno dei casi più semplici da calcolare. Ma tu non sai calcolare nemmeno quello.
Il problema è che, nell'ordine, ti mancano le seguenti nozioni:
1) cos'è una funzione reale;
2) come si grafica una funzione reale;
3) come si trovano gli zeri di una funzione reale;
4) come si calcolano e cosa sono le derivate di una funzione reale;
5) casa è una serie;
6) come si calcola la somma di una serie infinita;
7) ripetere tutti i passi precedenti estendendoli al caso di funzioni complesse di variabili complesse.
Capisci che non posso fornirti numeri se tu non sai come i numeri si possono ottenere? Non capiresti nulla così come non hai compreso perché la funzione zeta per z=3 assume il valore che hai postato.
E' un po' come se ad un bambino che ha appena imparato a fare le addizioni e le sottrazioni tu cercassi di spiegare il risultato del teorema di Pitagora per il calcolo dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Lui conosce le addizioni e le sottrazioni e tu gli fornisci il risultato. Ma, per capire cosa significa quel risultato lui dovrebbe saper fare le moltiplicazioni, dovrebbe capire cosa significa fare il quadrato di un numero, dovrebbe capire come si estrae una radice quadrata ed, infine, dovrebbe conoscere qualcosina di geometria. Tu gli dai il numero, ma cosa ti aspetti che lui comprenda? Tu sei in una situazione ancora peggiore di quella di quel bambino.
Per curiosità, ho controllato su Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_zeta_di_Riemann
E Wikipedia riporta diversi esempi di calcolo della funzione di Riemann per diversi valori di z. Non potrei postarti nulla di diverso, a meno di non postarti tutti i lunghi passaggi necessari ad ottenere quei risultati.
Purtroppo le cose non sono così semplici. Per poter seguire i passaggi devi completare un corso di matematica. E capire cosa sono e come si manipolano i numeri complessi è solo un dettaglio e nemmeno uno dei dettagli fondamentali.
Ti ripeto ancora una volta: se vuoi veramente affrontare il problema di calcolarti quella funzione devi munirti degli strumenti necessari. Cioè devi decidere di studiare e capire l'analisi matematica. Se tu non la conosci, o se almeno non sei in grado di comprendere con qualche dettaglio cosa c'è dietro i punti che ti ho elencato sopra, io non so proprio come aiutarti. Non è che non voglia, non posso proprio. Il problema che ti ha incuriosito non è un problema matematico da poco. Forse lo hai sottovalutato! Ti avevo detto che il problema richiede che tu sia motivato. Essere motivati significa essere disposti a sobbarcarsi un lungo periodo di studio. Il libro che ti ho consigliato e che tu hai acquistato contiene solo il minimo indispensabile per poter affrontare lo studio di altri libri (più di uno e molto più corposi e complicati di quello). Giusto per darti un'idea: quando ti sarai sciroppato tutto il libro che hai appena acquistato potrai sperare al più di esserti messo al pari con lo studente medio (non quello brillante) che è appena uscito da un Liceo Scientifico di buon livello. E non credo che nemmeno uno studente brillante sia in grado di lavorare con la funzione di Riemann. Forse può iniziare a lavorarci uno studente che ha completato il secondo anno di un corso universitario di Matematica o di altre facoltà scientifiche (non so, Fisica, Informatica e simili). Ora, dato che a te non interessano tutte le materie ma solo l'analisi, se sei veramente motivato puoi avvicinarti al risultato che vuoi in un tempo più breve. Ma un annetto di studio lo devi preventivare. Se pensi di apprendere quello che ti serve in un mese o leggendo un paio di post che io posso inviarti, devo dirti che stai cercando di sparare ad un rinoceronte che ti carica con un fucile ad aria compressa! Ho reso l'idea?