puoi darmi qualche indizio a riguardo?
Fido se avessi avuto il tempo di pensarci seriamente ed avessi qualcosa in più da dirti te l'avrei già detta.
Direi di limitarci al momento alla prima affermazione che ti ho proposto di verificare e che è già verificata empiricamente per tutte le 999 combinazioni possibili di una sequenza iniziale arbitraria di 1, 2 o 3 digit.
Io giocherei con la densità dei numeri primi che soddisfano i requisiti della tua sequenza e la confronterei con la densità dell'insieme di tutti i numeri primi. Se riusciamo a dimostrare che, per quanto si vada avanti nella sequenza, la densità dei numeri primi e la densità dei numeri primi che soddisfano la tua relazione vanno entrambi diminuendo ma mantenendo un rapporto costante avremmo dimostrato la prima affermazione.
Ma questo è un indizio (o almeno un'idea di sviluppo che mi pare perseguibile) che già di avevo fornito. Ma non ho fatto nulla per tentare di ottenere questa dimostrazione.
Il problema ha un suo interesse (almeno dal punto di vista ludico) per cui non escludo che in qualche momento libero io provi a giocarci un po'. Ma non so proprio dirti quando questo momento verrà. Se mai riuscissi ad ottenere la dimostrazione stai tranquillo che te la manderò immediatamente.
Alla seconda dimostrazione, direi di pensarci solo dopo aver ottenuto la prima (probabilmente, la strada che avremo o avrai percorso per la prima dimostrazione ti renderà più semplice la soluzione del secondo problema).
Mi spiace di non riuscire a dirti di più. Io credo che il primo problema sia molto semplice in verità. Ma quando dico semplice voglio dire semplice per un matematico. Che è una cosa diversa dal dire semplice per me! Certo, una volta che la avrò trovata, la dimostrazione mi apparirà sicuramente semplice. Ma probabilmente andrò a seguire strade tortuose prima di capire veramente come dovrei muovermi. Una cosa è rendersi conto che un problema è suscettibile di avere una soluzione (e questa è una cosa che credo di saper fare, anche uscendo dal mio ambito di competenze ristretto). Un'altra cosa è fare in prima persona ciò che un esperto farebbe immediatamente. Non so che esempi portarti. E' un po' come se, nel costruire uno strumento, mi si chiedesse di scrivere in prima persona tutto il software di gestione. Io so programmare certamente. E, anche se la gestione di uno strumento può divenire estremamente complessa, riesco sicuramente a comprendere cosa si può fare e cosa non si può fare. Ma se dovessi mettermi io a scrivere il codice impiegherei diversi mesi per fare quello che gli Ingegneri informatici o Elettronici che collaborano con me farebbero, ed in una maniera certamente più elegante, in un paio di settimane! E qui è un po' la stessa cosa. Io riesco benissimo a rendermi conto che il primo teorema può essere facilmente dimostrato e posso anche intuire la strada da percorrere. Ma pur essendo relativamente semplice il percorso, devo mettere in conto il fatto che, a causa dei miei limiti, il tempo che potrei impiegare io a trovare la soluzione potrebbe non essere breve. Non so se sono riuscito a farti intuire la differenza tra ciò che può essere definito facile in assoluto e ciò che invece è facile per me o per te!
Poi, possiamo sempre sperare che qualcuno dei partecipanti al forum, con competenze di Matematica superiori alle mie ed alle tue intervenga dandoci la soluzione. Ti ricordo ancora una volta che io sono un Fisico e non un Matematico. Ed anche se parliamo di Fisica, sino a che parliamo di argomenti generali in una prospettiva abbastanza ampia, posso certamente ritenere di avere qualcosa da dire. Ma se la domanda riguarda qualche dettaglio fine che esula dalle mie competenze specifiche una risposta da parte mia corre il rischio di divenire difficile (se non impossibile). Certamente nessuno può credere (e nemmeno io) che io sia un esperto di tutto ciò che ha a che vedere con la Fisica. Figuriamoci della Matematica, che per me è solo uno strumento e non un fine da perseguire!