Stiamo facendo manutenzione.

Ipotesi di Riemann

La scienza di cui vuoi parlare non rientra fra quelle prima proposte? Scrivi qui, basta che sia scienza!
fido
Messaggi: 276
Iscritto il: 09/11/2015, 12:38

Ipotesi di Riemann

Messaggio da fido » 28/11/2015, 8:50

Testo tratto da : https://seipernove42.wordpress.com/problemi-di-hilbert/lipotesi-di-riemann/


L’Ipotesi di Riemann

Di tutti i problemi proposti da Hilbert, l’Ipotesi di Riemann é forse la più conosciuta e, insieme, la più affascinante. Prima di tutto, ancora nessuno é riuscito a dimostrarla, nonostante a questo obiettivo si siano rivolte alcune delle menti matematiche più geniali degli ultimi due secoli. Inoltre, é un’ipotesi strettamente connessa ai numeri primi, ed essendo i numeri primi i “mattoncini” essenziali dell’intera aritmetica (qualunque numero puo’ essere espresso come prodotto di primi), l’ipotesi é in realtà centrale alla matematica nel suo complesso. Non solo: recentemente, si é capita una sua correlazione con problemi fisici (in particolare, con i livelli energetici di alcuni sistemi quantistici). E se tutto questo non bastasse, il Clay Institute ha offerto un premio di un milione di dollari per chiunque riesca a dimostrarla! Non male, vero? Forse vale davvero la pena di capire di cosa si tratti.

L’ipotesi di Riemann

L’ipotesi di Riemann riguarda la funzione zeta dello stesso Riemann, la quale a sua volta estende la funzione zeta dell’ancor più celebre Eulero, e quindi é da qui che conviene incominciare. La funzione zeta di Eulero é definita, per qualunque numero maggiore di 1, in questa maniera:

Immagine

Per valori di x maggiori di 1, si ottiene sempre una serie convergente, ed Eulero stesso trovo’ numerosi risultati numerici. Ad esempio,Immagine . Inoltre, Eulero trovo’ un’altra forma per la sua funzione, nella quale erano direttamente coinvolti i numeri primi (ricordo che il pigreco maiuscolo indica una produttoria, cosi’ come il sigma maiuscolo indica una sommatoria):

Immagine

Nella produttoria, p assume il valore di tutti i numeri primi: ecco il primo nesso fra la funzione zeta ed i numeri primi.

Riemann estese questa funzione in modo che potesse prendere come argomento qualunque numero complesso, e non più solo numeri interi (per di più positivi). Prima di tutto, la defini’ per numeri complessi con parte reale maggiore di 1 sfruttando la produttoria trovata da Eulero:

Immagine

L’unica differenza rispetto a prima é che ora s é un numero complesso, e non più un numero intero. In seguito, Riemann la estese all’intero piano complesso, sfruttando le proprietà dell’analisi complessa (il procedimento coinvolge equazioni abbastanza complicate che tralascero’, in quanto non apportano quasi niente alla discussione).

A questo punto, Riemann si mise a studiare gli zeri della funzione appena ottenuta, ovvero i punti per i quali la funzione si annulla: Immagine . Trovo’ quasi subito che esistevano un’infinità di zeri corrispondenti a tutti i numeri pari negativi: -2, -4, -6… Chiamo’ questi zeri banali, e se ne disinteresso’ quasi subito. Scopri’ poi l’esistenza di un’altra infinità di zeri, tutti con parte reale compresa fra 0 ed 1, ovvero che si concentravano in una regione del piano complesso che venne poi definita regione critica.

Riemann congetturo’ che tutti questi zeri (che chiamo’ non banali) si trovassero esattamente a metà della regione critica, ovvero avessero tutti parte reale pari ad 1/2: questa é la congettura di Riemann
fido
Messaggi: 276
Iscritto il: 09/11/2015, 12:38

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da fido » 28/11/2015, 14:08

La mia domanda è questa :

Non sono bene riuscito a capire la congettura, so solo che un numero esempio 6 / 0.5 = 12 il doppio , e così per ogni numero diviso 0.5, o meglio 0,5 dodicesimi, ma la congettura qual è?
Ultima modifica di fido il 02/12/2015, 8:46, modificato 1 volta in totale.
fido
Messaggi: 276
Iscritto il: 09/11/2015, 12:38

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da fido » 02/12/2015, 8:38

fido ha scritto:Scopri’ poi l’esistenza di un’altra infinità di zeri, tutti con parte reale compresa fra 0 ed 1, ovvero che si concentravano in una regione del piano complesso che venne poi definita regione critica.Riemann congetturo’ che tutti questi zeri (che chiamo’ non banali) si trovassero esattamente a metà della regione critica, ovvero avessero tutti parte reale pari ad 1/2: questa é la congettura di Riemann


In sostanza cosa vuol dire questa frase ?
Ho già visto qualche immagine sul piano cartesiano ma non sono riuscito a capire.
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da francesco.aliotta » 02/12/2015, 9:24

In sostanza cosa vuol dire questa frase ?


La funzione che tu hai indicato come ζ(x), dovrebbe essere scritta come una ζ(z), dove z è una variabile complessa.
Cercare gli zeri della funzione significa cercare i valori di z per cui ζ(z)=0.
Ovviamente esistono più soluzioni.
Le soluzioni sono tutte numeri complessi del tipo z=p+iq.
La congettura è che tutte le soluzioni sono caratterizzate da un valore p=1/2, che è la parte reale. Le soluzioni differiscono tra loro solo per la parte immaginaria, q.
fido
Messaggi: 276
Iscritto il: 09/11/2015, 12:38

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da fido » 02/12/2015, 9:34

francesco.aliotta ha scritto:La congettura è che tutte le soluzioni sono caratterizzate da un valore p=1/2, che è la parte reale. Le soluzioni differiscono tra loro solo per la parte immaginaria, q.


Purtroppo non capisco cosa vuol dire ,parte reale, e parte immaginaria , riusciresti a farmi un esempio con dei numeri semplici?
In pratica quali numeri devo mettere al posto di z = p + iq
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da francesco.aliotta » 02/12/2015, 10:12

Purtroppo non capisco cosa vuol dire ,parte reale, e parte immaginaria , riusciresti a farmi un esempio con dei numeri semplici?


Credo di capire che tu non sappia cosa sia un numero complesso.
Esistono diverse classi di numeri, naturali, relativi, razionali, irrazionali, immaginari e complessi.
Do per scontate le classi precedenti e ti parlo solo delle ultime due.
Il problema è di definire la soluzione dell'equazione x[sup]2[/sup]+1=0. E' ovvio che non esista alcuna soluzione reale, perchè la ricerca della soluzione ti porterebbe a tentare di estrarre la radice quadrata di -1. E tu sai benissimo che tale radice non esiste. Non esiste un numero reale il cui quadrato sia negativo.
Allora definisci un unità immaginaria, che chiamiamo i la cui proprietà è che i[sup]2[/sup]=-1.
Una volta definita l'unità immaginaria possiamo definire un insieme infinito di numeri immaginari. Ad esempio, i2 è quel numero il cui quadrato è -4.
Ora tu hai due insiemi quello dei numeri reali puri e quello dei numeri immaginari puri.
Se sommi tra loro un numero reale puro ed un numero immaginario puro ottieni un numero complesso. Ad esempio, se prendo il numero reale 3.2 ed il numero immginario i2.7 ottengo il numero complesso z=3.2+i2.7. Questi numeri godono di una serie di proprietà che ora non ti sto a dimostrare.
Comunque, l'ipotesi di Riemann riguarda le proprietà di una funzione complessa. Le soluzioni sono numeri complessi e in quanto tali sono caratterizzati da una parte reale e da una immaginaria.

Le immagini che hai visto sul piano cartesiano, non sono in realtà su un piano cartesiano convenzionale. Nel senso che ascissa ed ordinata non rappresentano due variabili diverse, almeno non nel senso usuale.
Il piano è ciò che si chiama una superficie di Riemann. E' un piano complesso. Ogni punto del piano rappresenta un numero complesso. L'asse delle ascisse indica la parte reale del numero, p, mentre quello delle ordinate indica la parte immaginaria, q. In pratica, la congettura di Riemann dice che tutte le soluzioni della funzione ζ(z) stanno, nel piano complesso, su una retta parallela all'asse delle ordinate e che interseca l'asse delle ascisse nel punto p=1/2. Se ragioni in termini di coordinate cartesiane p e q, l'equazione p=1/2 rappresenta infatti questa retta.

Comunque, se non hai dimestichezza con i numeri complessi ti suggerisco di abbandonare l'ipotesi di Riemann sino a quando non avrai deciso di studiare un po di analisi delle funzioni complesse.
Ho provato a darti un'idea di cosa sia un numero complesso. Ma per poter farci sopra ragionamenti dovremmo raccontare un po' troppe cose. Troppe per un forum!
fido
Messaggi: 276
Iscritto il: 09/11/2015, 12:38

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da fido » 02/12/2015, 10:21

Posso procurarmi dei libri , puoi indicarmene qualcuno , che mi permetta poi di esaminare l'ipotesi di riemann nel profondo. Perché mi interessa veramente e visto che sono entrato in disoccupazione a novembre e fino a metà aprile , quando riprendo il mio lavoro , non ho niente da fare , vorrei occupare il tempo , visto che di tempo ne ho.
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da francesco.aliotta » 02/12/2015, 10:34

Posso procurarmi dei libri , puoi indicarmene qualcuno

Volentiere! Però dovresti darmi un'idea del tuo livello culturale in Matematica.
Capisco che tu non abbia mai seguito un corso di analisi. E quindi immagino che tu non abbia nemmno seguito un corso si Geometria Analitica.
Se la situazione fosse questa sarebbe un po' un problema. Nel senso che un libro non basta. Ce ne vuole una serie. Non per capire cosa siano i numeri complessi, ovviamente. Ma per poter capire il senso della congettura di Riemann si.
Fammi capire bene a quale delle due mete vorresti arrivare.
Dammi un'idea realistica delle tue attuali conoscenze matematiche e provo a suggerirti da dove iniziare.
fido
Messaggi: 276
Iscritto il: 09/11/2015, 12:38

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da fido » 02/12/2015, 10:47

Beh , a dire il vero , ho studiato algebra a livello scolastico ,calcola che ho fatto ragioneria , quindi ben poco , poi circa 5 anni fa avevo comprato un libro di algebra , che partiva proprio dalle cose più semplici , e spiegava gli insiemi e i vari simboli, . Ma niente di più.
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Ipotesi di Riemann

Messaggio da francesco.aliotta » 02/12/2015, 11:24

ho studiato algebra a livello scolastico ,calcola che ho fatto ragioneria

OK! Diciamo che con l'algebra dovresti esserci. Magari datti una ripassatina giusto per non doverci tornare indietro strada facendo, il che ti farebbe perdere tempo inutilmente.
Poi direi che dovresti costruirti un po' di basi di Analisi Matematica e di Geometria Analitica.
Non so cosa consigliarti esattamente. Ma se hai qualche amico che ha frequentato il Liceo Scientifico puoi chiedergli di prestarti i suoi libri. Ti consiglio quelli dello Scientifico e non quelli di altri corsi superiori perchè, se vuoi affrontare la congettura di Riemann ti serve un po' di rigore matematico, che è una cosa diversa dall'utilizzare la Matematica per sviluppare dei calcoli. Voglio dire che devi provare ad impadronirti un po' della struttura logica dei teoremi. Questo è un approccio decisamente economico. I libri te li fai prestare o te li fotocopi.
Lo svantaggio di un approccio così sistematico è che potrebbe accadere che, in assenza di motivazioni veramente grosse, tu sia portato ad annoiarti. Un conto è confrontarsi giorno per giorno con un docente e un altro è trovarsi soli con se stessi.

In alternativa, potresti partire da questo:
http://www.libreriauniversitaria.it/mat ... 8808187048
Lo compri on line al link che ti ho dato. Ed ha un costo contenuto. Così se dovessi decidere di non aver il tempo necessario, almeno non ci rimetti un capitale!

Probabilmente, non è rigorosissimo. Ma, almeno facciamo un passo avanti in una maniera relativamente veloce. Prova a vedere come te la cavi.
Dopo, se vuoi arrivare alle funzioni di variabili complesse (e quindi alla congettura di Riemann) dovremo trovare un altro testo.
Ma per ora è prematuro. Guarda cosa succede con questa fase preparatoria e poi, se ne avrai ancora voglia, ne discutiamo.
Rispondi