Stiamo facendo manutenzione.

Geometria degli iper-solidi

La scienza di cui vuoi parlare non rientra fra quelle prima proposte? Scrivi qui, basta che sia scienza!
Avatar utente
[email protected]
Messaggi: 169
Iscritto il: 16/05/2014, 22:30

Geometria degli iper-solidi

Messaggio da [email protected] » 27/08/2015, 22:23

Noi umani apparteniamo ad una particolare specie di scimmia con un cervello molto evoluto, in natura per sopravvivere abbiamo dovuto imparare a fare molte cose banali in apparenza.
Prendiamo come esempio un tavolo e una mela: chiunque è in grado di prendere la mela dal pavimento ed appoggiarla sul tavolo.
Una gallina non riesce a mettere la mela sul tavolo, non ha il cervello adatto, non riuscirebbe neppure se al posto della mela mettessimo una ciliegia e al posto del tavolo uno sgabellino proporzionato.
È forse la gallina troppo stupida? Sì, e non riuscirebbe nemmeno se avesse le mani.

Un elefante che dovrebbe appoggiare una anguria in cima ad un armadio si ritroverebbe nello stesso problema.
L'elefante non riuscirebbe a spostare l'anguria nemmeno se avesse le mani, ma non avrebbe problemi ad usare la proboscide.
La domanda che dovremmo chiederci è: "riusciremmo a mettere la mela sul tavolo usando il naso?" Ovviamente No.

Riusciremmo a mettere una mela sul tavolo usando una proboscide artificiale da indossare sulla faccia?

Non al primo colpo, però con Moooolta pratica inizieremmo a riuscirci tranquillamente; e non solo, useremmo questa proboscide anche per mangiare, bere acqua, raccogliere oggetti, girare il volante dell'auto ecc...

Tutto questo perché abbiamo elasticità mentale, come i cani addestrati quando camminano su due zampe.

Ci sono cose che invece sappiamo fare per istinto, un po' come il nostro elefantino menzionato precedentemente è abile nell'uso della proboscide.
Noi a differenza degli elefanti sappiamo camminare sugli arti posteriori, è automatico dopo i primi mesi di vita; sappiamo sorridere, e questo oltre che automatico è anche difficile da evitare (chi di noi non ha vissuto quella situazione dove stava per scoppiare a ridere in un momento poco opportuno rischiando una figuraccia) e altre cose molto più complicate di quello che sembrano.

Una di queste cose è la percezione dello spazio.
Di fatto, ricostruiamo nella nostra testa gli spazi tridimensionali che ci circondano.
interpretiamo un'immagine piatta, senza volume, creata dalla luce proiettata sulle nostre retine.

Decodifichiamo la prospettiva per interpretare il mondo che ci circonda; non è una prerogativa di noi umani, tutti gli animali, chi meglio chi peggio, riescono a interpretare le immagini e capire, per esempio, quanti metri possono camminare in avanti senza sbattere la testa contro un palo della luce. Altri addirittura interpretano i suoni, come i pipistrelli o i delfini, altri esseri viventi al contrario non interpretano un bel niente perché non ne hanno bisogno. Gli alberi non hanno concezione dello spazio, i batteri nemmeno...
possiamo piantare un albero in una segheria piena di lame in movimento, l'albero crescerebbe fino alle lame facendosi amputare i rami perché non sa dove sono.

Tutti gli esseri del regno animale che si sono evoluti fino ad oggi hanno scelto fra tre strade:
1- interpretare gli spazi
2- vivere sott'acqua in zone senza ostacoli (come le meduse, gli anemoni, ecc...)
3- sono morti. (evoluzione)

Noi umani abbiamo degli occhi invidiabili, vediamo meglio dei nostri amici cani, vediamo più in lontananza rispetto ai pipistrelli, vediamo un colore in più rispetto alle mucche, possiamo invidiare solo i falchi o i gatti.

Ciò ci ha reso capaci di vedere gli spazi un po' dappertutto; basta disegnare un cubo per farci notare subito che è un cubo, basta fare un disegno utilizzando i punti di fuga per illuderci di vedere due oggetti di dimensione diversa

Immagine
Immagine

Quando parliamo di forme bidimensionali sappiamo perfettamente la distinzione che c'è fra una figura piatta e un solido dotato di volume.
Prendiamo in considerazione contemporaneamente un punto, una linea, una figura piatta e un solido, ci chiediamo: "cosa c'è dopo il solido?"
Il punto ha zero dimensioni, la linea una, la figura piatta ne ha 2 e il solido ne ha 3; quale oggetto ha 4 dimensioni?
Iniziamo così a parlare di figure a più dimensioni, o "iper-solidi" (ipercubo, ipersfera, ipercilindro...)

possiamo creare una linea da un insieme di punti, proprio come tante perle impilate formano una collana,
possiamo creare un piano da un insieme di linee, proprio come tanti fili intrecciati formano un lenzuolo,
possiamo creare un solido da un insieme di piani, proprio come tante sfoglie impilate l'una sopra l'altra formano una gustosa fetta di lasagne.

quale gruppo di solidi crea un iper-solido? Possiamo immaginare un ipersolido come tanti disegni: Immaginiamo di disegnare tantissime volte una scatola, la stessa scatola,
Ogni scatola ha la stessa base, la stessa altezza e la stessa profondità. Concettualmente queste scatole sono come scatole vere, possono contenere liquidi, oggetti, aria ecc...
ritagliamo le scatole disegnate da ogni foglio, e impiliamo tutti i disegni l'uno sopra l'altro e li rileghiamo. Otterremo un libro, ogni pagina di questo libro è il disegno di un cubo, mentre tutto il libro
nel suo insieme rappresenta un ipercubo. Nelle scatole possiamo disegnare un insetto che cammina, partendo dalla prima pagina del libro disegnamo questo insetto sempre un pezzetto più avanti fino ad arrivare all'ultima pagina dove l'insetto ha attraversato completamente la scatola.

Dal nostro punto di vista questa scatola non è altro che un pezzo di carta con una scatola disegnata, ma concettualmente rappresenta una scatola voluminosa.
Possiamo vedere il libro come "la storia di un insetto che cammina in una scatola", che di fatto è un prisma di carta fatto di fogli esagonali, ma concettualmente rappresenta un ipercubo.
E come fa questo libro a rappresentare un oggetto a quattro dimensioni?

Immaginiamo di tracciare le tre dimensioni della scatola sull'ultimo disegno, quello che sta sopra tutti; gli assi sarebbero lunghezza, larghezza e profondità della scatola.
Se "uscissimo" dal disegno e prendessimo in considerazione tutti i disegni, potremmo tracciare un quarto asse che parte dal primo disegno, e attraversa tutti gli altri disegni nello stesso punto in verticale.

Un po' come se infilzassimo la pila di disegni con un chiodo.

Anche quest ultimo asse come tutti gli altri assi traccerebbe una lunghezza.

Immagine

Ovviamente possiamo anche rappresentare Iper-Solidi di ordine superiore, anziché avere una pila di scatole disegnate, dovremmo avere una "pila di pile di scatole disegnate" e otterremmo un n-solido di ordine superiore, possiamo anche disegnare una pila di pile di pile di scatole disegnate o una pila di pile di pile di pile di scatole disegnate e così via...

Immagine

Non possiamo creare un cubo nello spazio di un foglio, possiamo disegnare due quadrati uguali e unirne assieme gli angoli corrispondenti.
Allo stesso modo possiamo disegnare due cubi e unirne assieme i vertici.

PS:
Se ci fate caso, un cubo ha 6 facce uguali di forma quadrata, mentre un ipercubo ha 8 "iper-facce" uguali di forma cubica
(ipotizzo che un ipercubo a 5 dimensioni o 5-cubo abbia 10 "iper-facce" ipercubiche)
teoria del tutto
Messaggi: 1095
Iscritto il: 05/08/2015, 15:23

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da teoria del tutto » 29/08/2015, 10:32

Puoi aver ragione ma fai un punto su un foglio e guardalo al microscopio avra una dimensione o piu dimensioni?ora siamo inteligenti o pensiamo di esserlo.un pesce potrebbe dire chi gli dice a cuegli esseri con due zampe di andare a lavorare di pulire casa di correre in macchina di guardare la televisione e di studiare ecc. Anche loro moriranno come me pesce,io mangio quando voglio se sono stanco riposo ecc.sono tutti punti di vista noi vediamo quello che vogliamo vedere come loro.tra mille anni noi saremo ancora piu inteligenti e il figlio del pesce se noi vorremo mangiare sara ancora li a ripetersi la solita cosa.
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 29/08/2015, 20:09

ipotizzo che un ipercubo a 5 dimensioni o 5-cubo abbia 10 "iper-facce" ipercubiche


Non è un'ipotesi. E' un fatto!
Dato un qualsiasi ipercubo di ordine n il numero delle facce di ordine n-1 che lo costituiscono è sempre dato da 2n.
Avatar utente
[email protected]
Messaggi: 169
Iscritto il: 16/05/2014, 22:30

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da [email protected] » 30/08/2015, 14:51

francesco.aliotta ha scritto:
[email protected] ha scritto:ipotizzo che un ipercubo a 5 dimensioni o 5-cubo abbia 10 "iper-facce" ipercubiche


Non è un'ipotesi. E' un fatto!
Dato un qualsiasi ipercubo di ordine n il numero delle facce di ordine n-1 che lo costituiscono è sempre dato da 2n.

8-)

Immagine

Questo è una rappresentazione di un ipercubo, come potete vedere ha
-16 vertici (8 del primo cubo e gli altri 8 sono quelli del secondo cubo su cui si proietta)
-32 spigoli (12 spigoli del primo cubo più 8 che si generano con la proiezione dei vertici più i 12 spigoli del secondo cubo 12+12+8)
-24 facce (6 facce del primo cubo, più 12 facce che si generano proiettando gli spigoli e le 6 facce del secondo cubo 6+6+12)
-8 iperfacce cubiche (il primo cubo, più le 6 proiezioni delle sue facce più il secondo cubo su cui si proietta 1+1+6)
Avatar utente
[email protected]
Messaggi: 169
Iscritto il: 16/05/2014, 22:30

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da [email protected] » 30/08/2015, 16:38

Ipersfera:

Per chi, come me, è in grado di disegnare le proiezioni delle forme, non è difficile capire come è funziona l'ipercubo, basta disegnare un oggetto tridimensionale, tracciare la proiezione di ogni vertice in una quarta direzione, e ridisegnare l'oggetto unendo i vertici proiettati; erano i miei "pasticci", quei pasticci che ci si mette a fare su un foglio di carta o sul diario quando ci si annoia a scuola.
Anche nel mondo tridimensionale è facile disegnare un cubo, un prisma di qualsivoglia base; anche se questa non ha una forma poligonale.

Cosa succede quando l'oggetto non è più un prisma, ma qualcosa che ha una profondità non rettilinea? Nel tridimensionale è facile da capire; la natura ci ha donato la capacità della percezione spaziale, quindi, se noi vediamo un oggetto circolare con entrambi gli occhi, riusciamo a "triangolare" la posizione dei vari punti di questo oggetto fino a capire se questo è un cilindro, una sfera, un cono, un tronco di cono o sempliciemente una superficie irregolare a forma di cerchio.

Quando prendiamo in considerazione il quadridimensionale il nostro cervello non distingue più gli ipercilindri dagli iperconi, e le ipersfere dagli iperellissoidi; ci sembrano tutte "palle".

Per capire come è fatta una ipersfera dobbiamo partire dalle regole che definiscono una sfera e "aumentarle di una dimensione" proprio come abbiamo fatto con l'ipercubo.

Per l'ipercubo abbiamo semplicemente preso un cubo e lo abbiamo proiettato, proprio come la proiezione di un segmento crea un quadrato e la proiezione di un quadrato crea un cubo.

Possiamo vedere un cerchio come un insieme di segmenti di diversa lunghezza impilati l'uno sopra l'altro.

Immagine

Allo stesso modo possiamo impilare tanti dischi di raggio diverso per fare una sfera.

Per creare un'ipersfera possiamo immaginare di disegnare una sfera di dimensioni diverse e ritagliare il disegno, ogni sfera ha un suo volume tridimensionale. Partendo dal disegno più piccolo al disegno più grande li impiliamo tutti uno sopra l'altro, poi una volta inserito il disegno più grande torniamo a mettere disegni mano a mano sempre più piccoli, fino ad aver creato una sfera fatta di disegni di sfere:

Immagine

Questa è una "Iperpalla" e ogni suo punto ha 4 coordinate a scelta;

Possiamo prendere delle coordinate come: a, b, c, d;
a è la distanza dal centro
b è la latitudine
c è la longitudine
d è la iperlatitudine

Oppure possiamo prendere due poli di riferimento appartenenti a due assi perpendicolari fra loro e avere due longitudini e una latitudine,
Possiamo anche "racchiudere" questa ipersfera in un ipercubo e usare i 4 assi cartesiani x, y, z, e t

Un esempio potrebbe essere:
-ρ è la prima coordinata della sfera è un angolo che misura la sua latiturine (dove +90° è il polo nord, 0° è l'equatore e -90° è il polo sud)
-θ è la seconda coordinata della sfera, è un angolo che misura la longitudine, (sulla Terra a 0° c'è il fuso orario di Londra, mentre a 180° c'è quello dell'oceano pacifico)
-φ è la terza coordinata angolare della sfera, misura la "iper-latitudine" (nel disegno dei palloni da calcio indica su quale di questi disegni è il punto,
il primo disegno, quello più piccolo, rappresenta -90°, il disegno più grande che sta al centro è a 0° e quello più piccolo che sta in alto è a +90°)
-t rappresenta la distanza dal centro, (sulla Terra in t=0 c'è il nucleo, mentre t=6000 km rappresenta un punto sulla superficie, la stazione spaziale internazionale sta da qualche parte in t=6300 km e il mantello terrestre è in t=5000km)
Avatar utente
Aspie96
Amministratore
Messaggi: 1386
Iscritto il: 23/02/2019, 19:52

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da Aspie96 » 01/09/2015, 20:17

Ops… sembra che mi sia perso qualcosa.

[email protected] ha scritto:girare il volante dell'auto...

Incidenti a gogò. Mi fiderei di più dell'elefante.

[email protected] ha scritto:tutti gli animali, chi meglio chi peggio, riescono a interpretare le immagini e capire, per esempio, quanti metri possono camminare in avanti senza sbattere la testa contro un palo della luce.

Beh, non proprio tutti (dubito che una spugna abbia queste abilità). Ma poi vedo che ne parli.

teoria del tutto ha scritto:Puoi aver ragione ma fai un punto su un foglio e guardalo al microscopio avra una dimensione o piu dimensioni?

Il punto ha zero dimensioni per definizione.
Ovvio che un punto su un foglio non sarà mai un punto ideale geometrico.


C'è stato un periodo in cui mi facevo un fracco di seghe mentali su 'sta roba (iper-solidi) e avevo effettivamente imparato a pensare in più di quattro dimensioni (contando il tempo).

[email protected] ha scritto:Per creare un'ipersfera possiamo immaginare di disegnare una sfera di dimensioni diverse e ritagliare il disegno, ogni sfera ha un suo volume tridimensionale. Partendo dal disegno più piccolo al disegno più grande li impiliamo tutti uno sopra l'altro, poi una volta inserito il disegno più grande torniamo a mettere disegni mano a mano sempre più piccoli, fino ad aver creato una sfera fatta di disegni di sfere:

Ci ho pensato recentemente, per caso.
Avatar utente
[email protected]
Messaggi: 169
Iscritto il: 16/05/2014, 22:30

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da [email protected] » 02/09/2015, 1:45

E la parte più interessante è...

Se la superficie della sfera è piatta, come è la superficie dell'ipersfera?
Beh, sicuramente non è piatta e ha un volume,

ricordiamoci che ogni cosa "metaforicamente piatta" di un oggetto 4D, ha un volume (come le facce cubiche dell'ipercubo, o le sezioni sferiche dell'ipersfera)

Partiamo con il presupposto che la superficie della sfera è piatta, quindi si misura in m[sup]2[/sup] anche se questa è "piegata" e non appartiene ad un piano
Allo stesso modo il volume della superficie di un'ipersfera sarà un volume, si misurerà in m[sup]3[/sup] e sarà "distorto" attraversando un'ulteriore dimensione

In che modo possiamo visualizzare questa superficie?

L'altro giorno stavo cercando di spiegare questa cosa ad una persona e alla fine per capirci ho formulato un bell'esempio:

Il pianeta delle favole:
Immaginate un castello delle fiabe, dentro il quale vive un re molto curioso, questo re manda ogni giorno i suoi sudditi a spasso per il regno in esplorazione per tracciare una mappa del mondo.
Le sue carte sono grandi e dettagliate, rappresentano tutto il regno, tutte le montagne, le coste e le varie formazioni geologiche.
Ogni volta che un suddito torna al castello con una nuova mappa, la posiziona su una mappa più grande cercando di completare la mappa del creato.
Trattandosi di una mappa medioevale, questa è completamente piatta, non è un mappamondo, e l'unica cosa che il re si aspetta e che ad un certo punto potrà trovare la "fine del mondo" e tracciare
finalmente il confine della sua mappa.
Ogni volta chiede ai vari sudditi: "Avete trovato la fine della mappa?" e i sudditi dicono: "ahimè Sire no, altra terra, altri laghi e altri mari si scorgevano all'orizzonte..."
Cosicché dopo anni il re stufo decide di completare a tutti i costi la mappa del mondo.

Convoca a corte tutti gli ingegneri, i maniscalchi e gli intellettuali per trovare una soluzione all'ossessione che da tutta la vita lo affligge e prendono una decisione: costruire delle barche con le ruote.
Le barche possono navigare per gli oceani, attraversare i fiumi ed esplorare la terra, le vele catturano i venti delle montagne permettendo di scalarle e così via.
Per procedere con ordine viene deciso che verranno mandate 4 barche: una verso nord, una verso sud, una verso ovest e una verso est.
Gli uomini su queste barche disegnano le mappe di tutto il paesaggio che riescono a esplorare, fino all'orizzonte. Quando le quattro barche saranno lontante, altre quattro barche verranno spedite, una a nord-est, una a nord-ovest, una a sud-ovest e una a sud-est. Quando le 8 barche saranno anche esse troppo lontane fra loro ne spediranno altre 8, una a nord-nord-est, una a nord-nord-ovest, una a nord-ovest-ovest ecc... Quando le 16 barche saranno lontante ne spediranno altre 16 a partire da nord-nord-nord-est ecc... ec...

Le barche iniziano a tracciare le mappe di tutte le "strisce di terra" che esplorano per molto tempo, vengono spedite sempre più barche, in numero doppio rispetto alle spedizioni precedenti (è folle, dopo 32 spedizioni dovrebbero esserci 8 589 934 592 barche; più barche che abitanti sulla terra nel 2015)

Ad un certo punto le barche cominciano a non allontanarsi più, anzi, poco per volta iniziano a riavvicinarsi, tanto che ad un certo punto si incontrano tutte in un punto solo.
dopo una consultazione da parte dei capitani di tutte le barche, decidono che tutta la superficie del creato è stata esplorata e non ci sono più terre da esplorare, ma che fine ha fatto il bordo?

Una volta al castello tutte le mappe vennero disposte correttamente, e venne creata una mappa del mondo. questa mappa non aveva "bordi" e venne scoperto che la Terra è rotonda.

ecco come apparirebbe la mappa se il castello del re fosse stato in Italia:

Immagine

ed ecco come sarebbe se il castello fosse stato al polo nord:

Immagine

Come potete vedere il punto al centro è il Polo Nord, il cerchio piccolo è l'equatore mentre tutto il polo sud
viene "stirato" lungo tutta la circonferenza grande.

Praticamente il raggio del cerchio misura la distanza minima dal punto di riferimento, e man mano che ci allontaniamo dal centro, la proiezione della mappa tende ad essere più stirata.

Questa è la proiezione Azimutale della mappa della Terra.

Torniamo ora alla nostra ipersfera,
Come possiamo visualizzare il volume superficiale di questa sfera?
Funziona pressapoco allo stesso modo,
Con la superficie della sfera abbiamo lavorato a 2 dimensioni, mentre con la ipersfera non abbiamo una superficie, ma abbiamo un volume tridimensionale.

Facciamo ora lo stesso esperimento del re, prendiamo 6 astronavi, le mandiamo una a nord, una a sud, una a est, una a ovest, una verso zenit e una verso nadir.

Queste astronavi sono computerizzate e all'avanguardia, tracciano la posizione di tutte le stelle e la comunicano alle altre astronavi via radio.

le astronavi hanno un server cloud dove caricano stanno i dati della mappa tridimensionale dell'universo.
quando le astronavi sono troppo lontane fra di loro, vengono spedite altre astronavi in traiettorie con angolo differente.

Se l'universo in cui queste astronavi si trovano, è sufficientemente piccolo e si espande poco velocemente, dopo alcuni anni queste astronavi si scontreranno tutte in un unico punto.
Come sarà la mappa tridimensionale dell'universo?
Sarà come una "bolla", andando dritti in una direzione, partendo dal centro della bolla, torneremo al punto di partenza dal lato opposto.
il "punto opposto" dell'universo sarà spalmato sulla superficie di questa boolla,
proprio come il punto opposto al polo nord è spalmato lungo tutta la circonferenza.

Praticamente, lo spazio sferico, non è altro che la sfera data dalla "rotazione" dello spazio azimutale lungo uno dei suoi assi.
Tutto ciò che sta lungo i bordi della bolla appare "stirato", tanto che il punto opposto copre tutta la bolla.

Questo spazio ha un polo nord e un polo sud, ma anche un polo zenit e un polo nadir, che sono 4 punti che fluttuano in questo spazio in una posizione ben precisa.

Ecco un video esempio di spazio ipersferico:

[youtube]TLr5T8w2Ol4[/youtube]

Come potete vedere, il programmatore ha rappresentato i 3 assi spaziali (sulla sfera sarebbero equatore e meridiano, nello spazio tridimensionale ipersferico nel video c'è un ipermeridiano verde perpendicolare all'equatore rosso e al meridiano blu)

[youtube]MDvlO9q6qWk[/youtube]

Questo è invece un Cavallino in 3D rinchiuso nel volume di una ipersfera, come potete vedere allo spostarsi della telecamera questo tende ad andare nel "punto opposto dell'ipersfera" e quindi ci appare come se stesse "avvolgendo" la telecamera.

Ecco un'animazione dell'universo ipersferico:
(GIF 29,9 MB :!: )
[spoiler]https://mega.nz/#!1MN3WRJR!AV26vt1Ir9XTxDtpFFoe4XoEzBbiET1jyiPJ7mHsaPU[/spoiler]

Immaginate che al centro ci sia un'astronave che va dritta, il punto opposto viene stirato tutto intorno al centro; di fatto questo non è stirato, è solo la "prospettiva" dello spazio ipersferico che lo fa apparire tale.
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 02/09/2015, 15:24

[email protected] ha scritto
Se la superficie della sfera è piatta, come è la superficie dell'ipersfera?
Beh, sicuramente non è piatta e ha un volume,


Qui mi sembra che tu stia facendo qualche errore, a meno che non sia io che ti ho frainteso.
Se è vera la tua prima affermazione, allora il raggio di curvatura della tua sfera è infinito. Cioè la tua sfera è un piano. Niente di strano dato che il limite di una sfera per R (raggio) che tende a infinito è proprio un piano!
Ma se ora proietto questa figura in una quarta dimensione (sempre euclidea come stai facendo tu nei tuoi esempi) io ottengo un iperpiano.
Ora un iperpiano è piatto per definizione. Un iperpiano è un volume (non ha molto senso asserire che abbia un volume dato che non è una figura chiusa).

Infine quello che potrebbe essere un suggerimento per visualizzare un'ipersfera con un metodo divrso da quello da te proposto, che devo dire non mi pare che funzioni (mA, di nuovo, potrei essere io a non essere riucito a comprenderti totalmente).
Parto dalla tua frase

Per l'ipercubo abbiamo semplicemente preso un cubo e lo abbiamo proiettato, proprio come la proiezione di un segmento crea un quadrato e la proiezione di un quadrato crea un cubo.

Vorrei porre l'attenzione sul fatto che l'uso della parola "proiezione" è improprio, anche se nel caso dell'ipercubo sembra funzionare.
In verità tu non devi proiettare nulla. Devi semplicemente analizzare le proprieta di simmetria della tua figura Di partenza (a dimensionalità più bassa) e poi imporre che la iper-figura abbia le stesse proprietà di simmetria.
Cerco di spiegarmi meglio. Parto dal quadrato per generare il cubo.
Il quadrato è una figura piana (quindi è bidimensionale). Quali sono le sue proprietà di simmetria?
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria per riflessione: le due diagonali e i due segmenti che bisecano due lati contrapposti. Se ribalto tutti i punti da Una parte di uno qualunque di questi quattro assi dalla parte opposta, ottengo un quadrato che è indistinguibile dal precedente,
Poi ho un altro elemento di simmetria. Anche se il quadrato è una figura bidimensionale questo elemento di simmetria coinvolge una dimensione addizionale. Questo elemento di simmetria è la retta perpendicolare al piano del quadrato e passane per il suo centro. Questo è un asse di simmetria rotazionale. Una qualsiasi rotazione della figura intorno a quest'asse, di un angolo multiplo di 90°, produce nuovamente una figura indistinguibile da quella originale.
Ora, se voglio produrre un cubo a tre dimensioni devo produrre una figura in cui tutte le facce abbiano la stessa simmetria del quadrato (cioè siano dei quadrati identici all'originale). Questa operazione introduce immediatamente altri elementi di simmetria (non li aggiungo arbitrriamente, sono la conseguenza diretta del fatto che sto imponendo su ogni faccia il rispetto delle simmetrie originali). Gli assi di riflessione (4 per ogni faccia) definiscono ora dei piani di simmetria: sono definiti dall'asse di simmetria appartenente a una faccia e da quello appartenente alla faccia contrapposta. In pratica, i due assi di simmetria per riflessione bidimensionali che bisecavano i lati del quadrato si trasformano in tre piani di riflessione che bisecano le sei facce. I due assi di riflessione che coincidevano con la diagonale del quadrato si trasformano in quattro piani passanti per ogni coppia di spigoli opposti (sono 4 coppie di spigoli) e quello che era un unico asse di rotazione per multipli di 90° si trasforma in tre assi di simmetria per rotazioni di 90° (dato che ora ho tre assi coordinati e quindi individuo tre piani rispetto ai quali i miei assi di rotazione devono essere perpendicolari.
Se ora voglio costruire l'ipercubo a 4 dimensioni, non devo fare nulla di particolarmente diverso. So che le facce devono essere 8 (è facile calcolarlo, tu hai già detto come, e su Wikipedia trovate facilmente como calcolare il numero di facce, di spigoli e di vertici per una dimensionalità arbitraria) e so che ognuna di queste deve essere un cubo ordinario identico a quello di partenza.
Ogni "faccia" cubica confina con altre 6 mentre è contrapposta ad un'altra. Ogni coppia di cubi opposti definisce un iper-piano di riflessione. Quindi ora ho 4 iper-piani di riflessione che bisecano le coppie di cubi opposti. Gli spigoli in 4-dimensioni sono rappresentati dalle 24 facce. Ogni coppia di facce contrapposte definisce un iper-piano di simmetria per riflessione. Quindi 24 facce contrapposte definiscono 12 iper-piani di riflessione. Infine, rimangono gli assi di simmetria rotazionale il cui numero è coincidente con la dimensionalità: in questo caso sono 4.

Ora, se non sei abituato a lavorare con le simmetrie tutto ciò ti potrà apparire inutilmente complicato. Nel caso dell'ipercubo tu hai ottenuto tutto in una maniera apparentemente più semplice. Ma ci sei riuscito perchè quella che tu chiami "proiezione" non è tecnicamente una proiezione. Tu, in verità hai traslato ognuno degli elementi lungo il nuovo asse di una distanza pari al lato del quadrato originale. Una traslazione su una distanza fissa è un cosa diversa da una proiezione. Comunque, significato delle parole a parte, l'operazione nel caso del cubo funziona perchè l'aver imposto, come hai fatto tu, una traslazione su una distanza predefinita mantiene la simmetria del sistema. Il tuo procedimento e quello che cerca di mantenere le simmetrie risultano equivalenti.

Ma il caso della sfera è molto diverso. Se parti dalla figura bidimensionale e cerchi di capire quali siano gli elementi di simmetria ti accorgi immediatamente che le cose sono più complicate. Guardiamo gli assi si simmetria per riflessione. Ti accorgi subito che ogni diametro è un asse di simmetria. Dire che ogni diametro è un asse di simmetria equivale a dire che gli assi di simmetria sono infiniti.
Cerchiamo ora di individuare l'asse di simmetria rotazionale. Questo asse è un asse perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il centro. Una rotazione arbitraria intorno a quest'asse lascia la tua circonferenza immutata. Di nuovo hai a che fare con l'infinito, dato che sono infiniti gli angoli di rotazione che lasciano il cerchio immutato. Se vuoi cosruire la sfera non c'è nulla da fare. Non puoi fare proiezioni dato che non esistono elementi di simmetria traslazionale. Devi costruire la tua figura tridimensionale continuando a rispettare l'esistenza di assi di simmetria rotazionali come quelli che abbiamo individuato. Prendi cioè un diametro arbitrario e adottalo come asse di rotazione. Fai ruotare la tua circonferenza intorno a quest'asse ed ottieni immediatamente la tua sfera. Non devi fare altro. Ti accorgi subito che ottieni sempre la stessa sfera, indipendentemente dalla scelta che hai prima adottato per il diametro intorno al quale ruotare.
Ora gli assi di simmetria sono sempre infiniti. Ma appartengono ad una classe di infinito superiore. Il numero degli assi di simmetria è ∞[sup]3[/sup]. Se vuoi ottenere la tua ipersfera ora non devi far altro che prendere un diametro arbitrario della sfera, assumerlo come asse di simmetria rotazionale, e fare ruotare la sfera intorno a quest'asse in una direzione perpendicolare a tutti i tre assi che definiscono il volume 3 D di partenza.

Cerco di spiegarti meglio perchè l'approccio con le traslazioni (o proiezioni come le chiami tu sia fuorviante).
Facciamo un caso semplice, cioè partiamo dal 2D per produrre il 3D.
La figura di partenza è il quadrato che hai utilizzato tu. Ma ora inscivigli una circonferenza. Poi adotta il tuo metodo e transla il quadrato. Ovviamente produrrai il cubo. Ma il cerchi inscritto si è trasformato in un cilindro, non in una sfera. Spero di essere riuscito a chiarirti perchè ti sto dicendo che il metodo che proponi non va bene. Funziona, ma solo in casi particolari. Per quanto ne so io, l'unico metodo che funziona è quello di preservare le simmetrie. Se riesci a visualizzare le simmetrie, è perfetto. Se non riesci a visualizzarle, poco male. Le trasformazioni che preservano le simmetrie sono facilmente esprimibili analiticamente, E' possibile che molti non riescano a visualizzare le simmetria in dimensioni superiori a 3. Ma chiuque può comprendere che l'equazione x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]=R[sup]2[/sup] e l'equazione x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]+w[sup]2[/sup]=R[sup]2[/sup] hanno qualcosa in comune. E questo qualcosa è il tipo di simmetria. Nel fare il processo inverso puoi adottare le proiezioni. Ad esempio, la seconda equazione (che è un'ipersfera) proiettata sul piano (x,y,z) produce la prima, cioè una sfera. Ma non puoi fare l'inverso. Una proiezione è, per definizione, un'operatore che trasforma un oggetto ad n dimensioni in uno ad n-1 dimensioni.
Avatar utente
[email protected]
Messaggi: 169
Iscritto il: 16/05/2014, 22:30

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da [email protected] » 02/09/2015, 23:09

francesco.aliotta ha scritto:Tu, in verità hai traslato ognuno degli elementi lungo il nuovo asse di una distanza pari al lato del quadrato originale.


Solitamente è il verbo che uso quando cerco di spiegare un ipercubo, solo che a volte non mi capiscono e quindi ho usato "proiettare" anche se effettivamente non si tratta di "proiettare qualcosa su un piano"

francesco.aliotta ha scritto:Qui mi sembra che tu stia facendo qualche errore, a meno che non sia io che ti ho frainteso.
Se è vera la tua prima affermazione, allora il raggio di curvatura della tua sfera è infinito. Cioè la tua sfera è un piano. Niente di strano dato che il limite di una sfera per R (raggio) che tende a infinito è proprio un piano!
Ma se ora proietto questa figura in una quarta dimensione (sempre euclidea come stai facendo tu nei tuoi esempi) io ottengo un iperpiano.
Ora un iperpiano è piatto per definizione. Un iperpiano è un volume (non ha molto senso asserire che abbia
un volume dato che non è una figura chiusa).


Mi spiego meglio, praticamente si tratta sempre di traslazione, solo che traslando una sfera lungo un quarto asse aggiuntivo otterremmo un ipercilindro a base sferica e tutte le sezioni perpendicolari all'asse t di questo "ipercilindro" sarebbero delle figure tridimensionali sferiche.

Cambiando il concetto di traslazione, anziché traslare la figura sferica lungo l'asse t mantenendo la stessa forma, eseguiamo una traslazione della figura in scala infinitesimale, man mano che la figura trasla si ingrandisce fino ad essere in "scala 1:1" per poi tornare a rimpicciolirsi; l'oggetto visto da ogni profilo resta sempre rotondo.

Questo metodo è la versione di "traslazione" che permette di creare una sfera e non un "ipercilindro" risolvendo il problema da te descritto quì:
francesco.aliotta ha scritto:Spero di essere riuscito a chiarirti perchè ti sto dicendo che il metodo che proponi non va bene.


Per capire meglio vedi l'immagine delle sezioni del pallone da calcio, le "foto" del pallone rappresentano la figura tridimensionale, e le varie foto impilate rappresentano la traslazione, che varia la "scala" della figura di base durante la traslazione.
In questo modo possiamo ottenere una sfera anziché un cilindro traslando un cerchio sempliciemente variando la dimensione del cerchio durante la traslazione; lo stesso concetto applicato alla traslazione di una sfera permette di generare una ipersfera.

Riguardo la questione della figura chiusa:
Se trasliamo un quadrato otteniamo un parallelepipedo, questo è una figura chiusa, il suo sviluppo è formato da 6 facce rettangolari.
Se trasliamo un cerchio otteniamo un cilindro, e anche questo è una figura chiusa.

Se facciamo la rotazione a 180° di un quadrato, attraverso un angolo α appartente ad un piano parallelo all'asse z, otteniamo un cilindro, che è una figura chiusa.
Se facciamo la rotazione di 180° di un quadrato, attraverso un angolo α appartente ad un piano parallelo all'asse z, otteniamo una sfera, ed è una figura chiusa.

Immagine

Se trasliamo un cubo in un quarto asse t otteniamo un ipercubo, questo ha 8 facce cubiche dello stesso volume, sono perpendicolari fra di loro.
Se ruotiamo una sfera di 180° attraverso un angolo appartenente ad un piano α parallelo al quarto asse t, otteniamo una ipersfera, e la sua "superficie" avrà un volume, proprio come le iperfacce del cubo.

Immagine

Questa rotazione, crea un volume di superficie.

Questo volume equivale a 2π[sup]2[/sup]r[sup]3[/sup] dove r è il raggio.

Secondo me, un iperpiano è uno spazio e ha un volume, in quanto è un piano di due dimensioni con una dimensione in più (tot 3).
Se la superficie di una sfera, è una figura chiusa e ha un'area superficiale, allora l'ipersuperficie di una ipersfera è un volume chiuso (quindi curvo). Se tracciamo una linea sufficientemente lunga sulla superficie di una sfera, questa si chiude in un cerchio, se tracciamo una traiettoria in uno spazio ipersferico (la superficie di una ipersfera) questa tornerà al punto di partenza dalla direzione opposta (chiudendosi in un cerchio che non vediamo come tale perché giace in un piano NON perpendicolare all'asse t).
francesco.aliotta
Messaggi: 812
Iscritto il: 09/07/2014, 16:33

Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 03/09/2015, 7:06

[email protected]
Cambiando il concetto di traslazione, anziché traslare la figura sferica lungo l'asse t mantenendo la stessa forma, eseguiamo una traslazione della figura in scala infinitesimale, man mano che la figura trasla si ingrandisce fino ad essere in "scala 1:1" per poi tornare a rimpicciolirsi; l'oggetto visto da ogni profilo resta sempre rotondo.

Avevo capito che avevi fatto così ed è proprio questo che non mi pare che funzioni. Quando tu "trasli" lungo il quarto asse devi produrre altre sfere oltre a quella dovuta alla semplice traslazione. Nel caso del cubo il tuo metodo fa vedere che ci sono diversi cubi, non solo quello traslato. Il metodo non rende immediatamente l'idea che non vi siano facce libere. Ma alla fine si può anche visualizzare il tutto.
Ma nel caso della sfera, tu stai riproducendo solo le sfere traslate. Manchi di dare l'idea che la traslazione ha prodotto un'infinità di sfere, che sono impilate (se vogliamo utilizzare la tua rappresentazione) lungo un'infinità di assi distribuiti su tutto l'angolo solido. Voglio dire che il tuo disegno suggerisce l'idea che esista unsolo asse. Ma ciò non è vero, gli assi sono infiniti e la traslazione deve essere avvenuta producendo effetti in queste infinite direzioni.

Capisco che ti stai divertendo a disegnare, e i risultati sono anche gradevoli. Quindi non ha senso essere troppo pignoli. Volevo solo suggerire di non prendere i tuoi metodi e alcuni dei disegni troppo alla lettera perchè, in alcuni aspetti, possono causare fraintendimenti.

Secondo me, un iperpiano è uno spazio e ha un volume, in quanto è un piano di due dimensioni con una dimensione in più (tot 3).

Capisco che è di nuovo un problema del significato da dare alle parole.
Questa tua frase è equivalente alla "un piano è una superficie e quindi ha un area".
E' ovvio che il piano sia un superficie, ma non è ovvio, anzi è scorretto, dire che abbia un area. Se io scrivo "ha un'area" implicitamente uso la parola "area" col significato di "misura della superficie". Ed è ovvio che tale misura non esiste dato che è per definizione infinita.
Stessa cosa in 3D. Se dici che un iperpiano ha un volume ecco che implicitamente dici che esiste una misura del volume dell'iperpiano, che ovviamente non esiste. Ecco perchè ti ho suggerito l'alternativa "l'iperpiano è un volume".
Rispondi