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Geometria degli iper-solidi

La scienza di cui vuoi parlare non rientra fra quelle prima proposte? Scrivi qui, basta che sia scienza!
francesco.aliotta
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 03/09/2015, 10:11

Non voglio guastarti il divertimento di tracciare disegni più o meno complessi. Tuttavia, anche guardando l'immagine dell'ipercubo 4D che hai tracciato mi pare di notare qualcosa che non va.
Questo è il disegno del tuo ipercubo:
Immagine
Se capisco bene cosa vorresti ottenere, questa dovrebbe essere la proiezione 2D dell'ipercubo 3D. Ovviamente la proiezione da 4 dimensioni a 2 comporta delle inevitabili distorsioni. Tuttavia, le proprietà di simmetria dovrebbero essere preservate.
Ora, quando costruisci il cubo partendo dal quadrato il preservare le proprietà di simmetria implica che nessuno dei lati dei quadrati che hai generato (le facce del cubo) siano liberi. Se guardi bene il cubo, ti accorgi che ognuno dei lati di un quadrato che costituisce le facce è condiviso con un altro quadrato. I lati dei quadrati sono divenuti gli spigoli del cubo. Ogni faccia confina quindi con altre 4 e non esistono spigoli liberi.

Quando vai a generare l'ipercubo, devi procedere nella stessa maniera. La procedura genera, come tu correttamente dici, otto cubi che, generalizzando, possono essere immaginati come le 8 facce 3D del nostro ipercubo 4D. Di conseguenza, le facce bidimensionali di ognuno di questi cubi non sono altro che gli spigoli (generalizzati) 2D del nostro ipercubo. Nessuna di queste facce deve essere libera. Ogni quadrato che costituisce una delle facce di un cubo deve essere condiviso da un altro cubo. Il risultato è che ogni cubo deve necessariamente confinare con altri 6. Se guardi bene il tuo disegno, ti accorgi che tu non hai rispettato questa condizione. Il tuo ipercubo non è solo proiettato in 2D, tu lo hai anche parzialmente aperto.

La proiezione 2D dell'ipercubo è un po' diversa da quella che hai prodotto tu. Non perdo tempo a disegnarne una io e ti posto semplicemente un'immagine che ho tratto da Wikipedia.

Immagine

Come vedi, questo disegno è abbastanza diverso dal tuo. I cubi sono sempre 8, il cubo piccolo al centro, i 6 cubi esterni e infine il cubo più grande che racchiude tutta la figura. Come vedi in questo disegno ogni faccia di ogni cubo è condivisa tra due cubi. Se i cubi fossero delle stanze e le loro facce delle pareti, se praticassi dei pasaggi (delle porte) su ogni parete da ogni stanza sarebbe possibile accedere direttamente ad altre 6. Questa è la simmetria corretta dell'ipercubo e il tuo disegno non la rispetta (ha una simmetria più bassa).

Nel caso dell'ipersfera le cose sono sostanzialmente le stesse. Solo devi immaginare di avere un numero infinito di "pareti". In pratica, il tuo disegno dovrebbe riuscire a suggerire la seguente cosa: ognuno dei cerchi massimi tracciabili sulla supercifie di ognuna delle sfere 3D è condiviso da un numero infinito di altre sfere 3D. Questo è il risultato dell'aver preservato la simmetria sferica in quattro dimensioni. La tua idea di impilare sfere di dimensioni diverse lungo una direzione, in analogia all'impilare segmenti di dimensioni diverse per produrre un cerchio in 3D non è sbagliata in linea di principio. Ma ti stai dimenticando che l'operazione di "impilamento" deve avvenire lungo infinite direzioni, sino a coprire tutto l'angolo solido (nella proiezione 3D della tua ipersfera 4D). Poi devi proiettare il risultato della proiezione 3D su un piano per ottenere una delle infinite possibili proiezioni 2D. Se fai questo ti accorgi che il disegno risulterà un po' diverso dal tuo e suggerirà qualcosa di più sulla geometria dell'ipersfera. Non provo a darti un disegno perchè se cerchi ne trovi un'enormità sul web. Ovviamente, l'inviluppo che ottieni dopo la proiezione assomiglierà inevitabilmente ad una sfera ordinaria (così come l'esterno della proiezione 2D dell'ipercubo, che ho preso da Wikipedia, richiama alla mente un cubo ordinario). Per dare un'idea della geometria devi necessariamente selezionare opportunamente alcuni dei cerchi massimi condivisi tra le varie sfere (certamente non potrai mai disegnare infiniti cerchi massimi). Nel caso dell'ipersfera dovrai accontentarti di una rappresentazione approssimata dato che non puoi rappresentare tutti gli infiniti elementi di simmetria. Nel caso dell'ipercubo, in cui il numero degli elementi di simmetria è finito, quella di Wikipadia è invece una rappresentazione completa.
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 03/09/2015, 14:57

Devo correggere il mio ultimo messaggio per quanto ho scritto al proposito del disegno di [email protected].
L'ho riguardato una seconda volta e all'improvviso l'ho visto!
Il tuo disegno e quello che ho postato io si rivelano equivalenti e nessuno dei due ha facce libere (contrariamente a quanto avevo asserito io).
I due disegni sono semplicemente ruotati l'uno rispetto all'altro. Se immagini di ruotare quello di Wikipedia intorno ad un asse verticale, il cubo piccolo interno si sposterà lateralmente ingrandendo mentre quello grande esterno si sposta dal lato opposto rimpicciolendo. Se ti fermi all'angolo giusto, ritrovi il tuo disegno.

Sono tornato a guardarlo perchè ti avevo scritto che la tua procedura lasciava delle facce libere, violando la simmetria. Ma poi, ripensandoci, non ero riuscito a capire come la simmetria fosse stata violata dato che non vedevo operazioni illecite. Alla fine è risultato che non vi era alcuna violazione di simmetria e, di conseguenza, il disegno doveva essere corretto, come in effetti è.

Per quanto riguarda la sfera rimane invece valido ciò che ti ho detto. Non è che sia sbagliata dato che non viola le simmetrie. Semplicemente è un po' troppo semplificata, dato che non riesce a dare un'idea delle simmetrie che non sono state esplicitamente riportate nel disegno.
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da teoria del tutto » 04/09/2015, 11:19

Costruite prima il cerchio piccolo e poi quello grande. Se eliminate il tempo costruite prima il grande e poi il piccolo
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da [email protected] » 05/09/2015, 1:26

francesco.aliotta ha scritto:Devo correggere il mio ultimo messaggio per quanto ho scritto al proposito del disegno di [email protected].
L'ho riguardato una seconda volta e all'improvviso l'ho visto!
Il tuo disegno e quello che ho postato io si rivelano equivalenti e nessuno dei due ha facce libere (contrariamente a quanto avevo asserito io).

ImmagineImmagine
Stavo appunto per postarti queste immagini, e ho disegnato anche le porticine sulle "facce in comune" dei vari cubi.
Il cubo rosso ha una "parete" in comune con quello blu (messo in evidenza dalla porticina viola)
Il cubo blu ha una "parete" in comune con quello verde (messo in evidenza dalla porticina azzurra)
Il cubo verde ha una "parete" in comune con quello rosso (messo in evidenza dalla porticina gialla)

Riguardo la sfera, ho usato l'esempio delle foto impilate per rendere l'idea; <<infatti ogni "sezione" dell'ipersfera è una sfera>> ossia, possiamo sezionare un'ipersfera con infiniti piani, e avremo sempre una sfera (salvo nel caso in cui i piani sezionatori siano tangenti, in tal caso avremo solo punti)

con le sezioni ho usato lo stesso esempio per l'ipercubo.

Comunque possiamo ottenere cerchi, sfere e ipersfere, sempliciemente ruotando un segmento, il cerchio derivato dalla sua rotazione e la sfera derivata dalla rotazione del cerchio.

Io vorrei arrivare ad una questione comunque:
Un cubo si può sezionare, alcuni "punti" racchiusi nel volume del cubo rispettano le regole della geometria tridimensionale come:
3 punti hanno un piano in comune se non sono coincidenti,
2 punti hanno un fascio di piani in comune se non sono coincidenti,
2 rette sghembe non hanno ne piani ne punti in comune, ecc...

Vorrei portare alla luce alcune osservazioni riguardo le sfere nello spazio tridimensionale:
Immaginiamo una sfera, non a livello di superficie sferica o luogo dei punti equidistanti da un centro B, ma proprio tutto il suo volume come luogo dei punti con distanza minore o uguale a r (raggio) dal centro B

Immaginiamo un'altra sfera, stavolta intesa come superficie sferica chiusa (luogo dei punti equidistanti)
Siamo tutti d'accordo che per un generico punto E appartenente al volume della sfera S, passano infinite sfere, sferoidi o ellissoidi (intesi come superfici quadriche) che avvolgono il centro B della prima sfera.

Possiamo utilizzare una sfera di riferimento S di centro B, sulla quale giace il punto E.
Per il punto E passano infinite sfere che contengono il centro B della prima sfera.

Possiamo allo stesso modo pensare che in R[sup]4[/sup] in un "iperspazio" a 4 dimensioni euclidee abbiamo un'ipersfera di centro C[sub](xc,yc,zc,wc)[/sub] (intesa come ipervolume, ossia il luogo dei punti con distanza minore o uguale al raggio) nella quale ci sono una nuvola di punti.
ovviamente il punto B, in qualità di centro dell'ipersfera appartiene a questo insieme di punti,
Immaginiamo ora un punto E nell'ipersfera, per questo punto E passano infinite ipersfere, che anche esse "avvolgono" il centro B.

Ora possiamo anche "localizzare" questi punti all'interno dell'ipersfera sempliciemente usando le 4 coordinate euclidee (x, y, z, w), partendo da un punto di origine (magari per comodita questa origine corrisponde a B) oppure possiamo prendere come riferimento il punto B e tracciare un sistema di coordinate polari:
-ρ come latitudine
-θ come longitudine
-φ come iper-latitudine
-t come altitudine, o distanza dal punto di origine B

In un caso o nell'altro abbiamo 4 dimensioni: nel primo caso abbiamo un iperspazio che si estende all'infinito lungo i 4 assi.

Nel secondo caso abbiamo uno spazio finito lungo le tre coordinate polari, e infinito lungo l'altitudine. Il volume disponibile ha una dimensione fissa pari a 2π[sup]2[/sup]t[sup]3[/sup].
Questo non è uno spazio statico, all'aumentare del valore della coordinata t, un qualsiasi punto E si trova in un'ipersfera via via sempre più grande, come se all'aumentare di t lo spazio tridimensionale si espandesse.

Ovviamente possiamo descrivere il punto E utilizzando le coordinate polari di una ipersfera, oppure possiamo anche scegliere un'altra ipersfera di riferimento, un iperellissoide o uno sferoide; lo spazio sarebbe lo stesso, i punti pure; solo che sarebbe descritto tutto in modo diverso.
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da Aspie96 » 05/09/2015, 17:20

francesco.aliotta ha scritto:Devo correggere il mio ultimo messaggio per quanto ho scritto al proposito del disegno di [email protected].
L'ho riguardato una seconda volta e all'improvviso l'ho visto!
Il tuo disegno e quello che ho postato io si rivelano equivalenti e nessuno dei due ha facce libere (contrariamente a quanto avevo asserito io).

Grazie per averlo specificato.
Molte volte ho visto disegni di ipercubi in entrambi i modi e se non fossero equivalenti sarebbero crollate molte seghe mentali fatte in passato.
francesco.aliotta
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 06/09/2015, 0:09

Aspie96 ha scritto:
Grazie per averlo specificato.
Molte volte ho visto disegni di ipercubi in entrambi i modi e se non fossero equivalenti sarebbero crollate molte seghe mentali fatte in passato.

Prego, era mio dovere dire che avevo sbagliato! A mia parziale discolpa devo dire che la rappresenazione bidimensionale dell'ipercubo scelta da [email protected] soffre della tipica ambiguità interpretativa d cui giaà soffre la rappresentazione bidimensionale del cubo ordinario visto dall'angolazione equivalente. Il problema è che la rappresentazione non è prospettica ma è assonometrica. Il cervello vede quindi due rappresentazioni assonometriche e "flippa" continuamente tra l'una e l'altra. Così ha fatto il mio ad una ispezione evidentemente non troppa attenta ed alla fine l'interpretazione che ne ho tratto è stata errata ed "ho visto" l'ipercubo parzialmente aperto.
Comunque, la discolpa è solo parziale. Come ho detto, la logica mi diceva che non vedevo nulla nelle mosse effettuate che violasse la simmetria. Quindi ho commesso certamente l'errore di seguire quello che dicevano i miei sensi trascurando quanto mi diceva la logica.

teoria del tutto ha scritto:
Costruite prima il cerchio piccolo e poi quello grande. Se eliminate il tempo costruite prima il grande e poi il piccolo

Al solito, non capisco cosa vorresti dire veramente (immagino che tu stia cercando di dirci qualcosa).
Se disegno prima il cerchio piccolo e poi il più grande ottengo una coppia di palle. La più grande sembra trovarsi davanti alla più piccola.
Nel discorso di [email protected] il tempo non è mai stato chiamato in ballo! Lui utilizza una quarta coordinata che chiama "t". Ma non ha mai detto che sia il tempo. Potrebbe esserlo oppure no. I ogni caso non cambia nulla. Lui sta presentando un problema geometrico e quindi t è solo una quarta coordinata e come tale dovremmo interpretarla. Comunque sia, secondo quanto tu asserisci senza darcene un motivo, se la eliminassimo otterremmo una palla piccola antistante una palla grande.
In sintesi, otterremmo sempre un bellissimo paio di palle! :) Non capisco quindi l'utilità del tuo suggerimento!

[email protected] ha detto diverse cose su cui concordo perfettamente.
Poi, ad un certo punto , ha scritto:
In un caso o nell'altro abbiamo 4 dimensioni: nel primo caso abbiamo un iperspazio che si estende all'infinito lungo i 4 assi.
Nel secondo caso abbiamo uno spazio finito lungo le tre coordinate polari, e infinito lungo l'altitudine. Il volume disponibile ha una dimensione fissa pari a 2π2t3.

Qui rimango perplesso. O sbagli completamente, o nella tua frase c'è qualche refuso, oppure io non sono capace di interpretre le tue parole.

Cerco di spiegarmi.
Nessun problema per quanto riguarda la tua prima frase: siamo perfettamente d'accordo che l'iperspazio a 4 dimensioni è illimitato. Le quattro coordinate che descrivono l'iperspazio di cui tu stai parlando sono rappresentate dalle variabili x,y,z,t ed il campo di esistenza di ognuna di queste variabili è R[sup]+[/sup].
Ma, dopo che proietti il tuo iperpazio a 4 dimensioni sullo spazio ordinario a 3 dimensioni, apparentemente tu sostieni che lo spazio 3D che si ottiene, descritto dalle tre variabili (x,y,z), ha un campo di esistenza che non è più R[sup]+[/sup], bensì è compreso tra 0 e un numero finito.
Per la verità tu dici che è limitato il campo di esistenza delle coordinate polari (cosa che è ovviamente vera in ogni caso). Ma dal tuo discorso sembrerebbe che tu voglia intendere che sono finiti anche i valori associabili ad x,y e z.
Questo è ovviamente falso, per cui desumo che tu voglia dire qualcosa di diverso.
Io credo che tu voglia riferirti al volume della tua ipersuperficie (che in verità è il volume di una sfera ordinaria) per un valore fissato di t. Cioè, nel tuo discorso t cessa di essere una variabile e diviene una costante, cioè è rappresentata da un numero. Questo numero, che io chiamero t[sub]1[/sub] in modo da non confonderlo con la variabile t, rappresenta il raggio della sfera. In pratica, tu hai disegnato una ipersfera a 4 dimensioni e poi hai eseguito un taglio con un iperpiano definito come t=t[sub]1[/sub]. Nell'iperspazio 4D ottieni l'ipersuperficie 3D che, nello spazio 3D è una sfera ordinaria.
Ad un certo punto, infatti, tu scrivi:
Ora possiamo anche "localizzare" questi punti all'interno dell'ipersfera sempliciemente usando le 4 coordinate euclidee (x, y, z, w)

Nota che tu hai scritto che le coordinate sono euclidee...io, su questo punto, mi limito ad essere d'accordo con te.
Poi hai scritto:
Questo non è uno spazio statico, all'aumentare del valore della coordinata t, un qualsiasi punto E si trova in un'ipersfera via via sempre più grande, come se all'aumentare di t lo spazio tridimensionale si espandesse.

Intanto chiariamo che il volume dovrebbe essere scritto come 4πt[sup]3[/sup]/3 e non come lo hai scritto tu. Ma questo non è rilevante..do per scontato che si tratti di un refuso.
Il problema è che ora tu dici che t è qualcosa che sta variando mentre x,y,z variano con esso cioè ognuna di esse è una funzione di t. Tu ora stai improvvisamente parlando delle proprietà della tua ipersfera e non delle proprietà dello spazio. Lo spazio è euclideo (tue parole) per cui x,y,z e t sono quattro coordinate ortogonali, cioè indipendenti.
La tua sfera o ipersupercicie 3D (dipende da come te la vuoi rappresentare mentalmente, ma il risultato non cambia) ha un volume finito solo se t assume un valore costante (il che significa cha anche t è finito). Se tu consenti a t di variare non puoi evitare che varino anche i valori di x,y,z. In funzione di t, otterrai un inviluppo di sfere a raggio crescente che, inevitabilmente, ricopriranno, per t che tende ad infinito, tutto il volume 4D disponibile.
In sintesi, non vi è alcun dubbio che per t=t[sub]1[/sub], con t[sub]1[/sub] arbitrario, lo spazio rappresentato dalla ipersuperficie 3D sia limitato. Ma questo solo perchè la quarta coordinata, t, sparisce a causa della tua operazione.
Ora, se ci vogliamo riagganciare ad un discorso più vecchio e se vogliamo interpretare la coordinata t come il tempo, non vi è dubbio che l'ipersuperficie che tu hai descritto si espanda nel tempo, ma è certamente scorretto dire che questo significhi che lo spazio si sta espandendo. Lo spazio è lo spazio 4D che tu hai introdotto all'inizio (e sarebbe lo spazio-tempo). Ed anche la sua proiezione in 3D si espande nel tempo. Il problema e che si espande sia nel tempo che nello spazio. Due punti sulla superficie della sfera si allontanano nel tempo, nel senso che la loro distanza spaziale aumenta. Il che ti dice che lo spazio non si espande affatto. Lo spazio esterno alla sfera calcolabile all'istante t=t[sub]1[/sub] esiste a prescindere dall'espansione. Il raggio della sfera (che coincide con t o con ct, a seconda delle unità di misura che tu vuoi utilizzare) cresce nel tempo per cui rappresenta solo l'orrizzonte temporale raggiunto dalla sfera al tempo t[sub]1[/sub].
Quello che stai descrivendo non è un nuovo modello. E' esattamente il modello newtoniano. Nel modello di Newton esistono già tre coordinate spaziali ed una temporale. E le coordinate spaziali non sono indipendenti da quella temporale. Nel tuo disegno tutti i punti che appartengono all'ipersuperficie sferica sono sincroni, sia per un osservatore che sta su quella superficie che per uno localizzato nell'origine, così il tempo è indipendente dal sistema di riferimento. Inoltre, l'isocronismo dei punti localizzati sull'ipersuperficie della sfera implica l'esistenza di un segnale capace di viaggiare a velocità infinita. Credo che l'error di fondo stia nel confondere la geometria dello spazio (o dello spazio-tempo) con l geometria dei solidi che puoi disegnare al suo interno. Il tuo spazio tempo, basato su coordinate euclidee è euclideo ed è esattamente quello di Newton. Per ottenere proprietà deluniverso non eulidee, come nel caso della Relatività, devi necessariamente partire da quattro coordinate legate da relazioni non euclidee. Cioè è necessario che la struttura dello spazio astratto dentro il quale costruisci le tue figure e calcoli le tue traiettorie sia di per sè non euclidea.
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da Aspie96 » 06/09/2015, 8:58

francesco.aliotta ha scritto:Se disegno prima il cerchio piccolo e poi il più grande ottengo una coppia di palle.

In questo momento mi sento molto infantile trovandoci un doppio senso.

francesco.aliotta ha scritto:In sintesi, otterremmo sempre un bellissimo paio di palle!

Ok, non sono solo io, allora!
È il fatto che una è più grossa e l'altra più piccola che preoccuperebbe un po' in un contesto reale.
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da francesco.aliotta » 07/09/2015, 18:32

È il fatto che una è più grossa e l'altra più piccola che preoccuperebbe un po' in un contesto reale.


Io trovo anche più preoccupante il fatto che esse sembrino ruotare una intorno all'altra e che, alla fine, esplodano! :lol:
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Re: Geometria degli iper-solidi

Messaggio da Aspie96 » 07/09/2015, 19:51

In effetti…
Oh, mio Dio! Meglio pensare ad altro!
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